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Structure algébrique

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique consiste en un ensemble combiné avec une ou plusieurs lois de composition sur cet ensemble, satisfaisant un certain nombre d’axiomes.

Classification

Suivant les lois de composition et les axiomes considérés, les structures algébriques prennent différentes appellations. Les paragraphes ci-dessous regroupent les principales structures suivant leur similitude.

Groupes

Les structures algébriques les plus simples, ne comportant qu’une loi de composition interne.

• magma ou groupoïde : un ensemble avec une seule loi de composition interne
• quasigroupe : un magma où tout élément possède un inverse
• boucle : un quasigroupe possèdant un élément neutre
• semigroupe : un magma associatif
• monoïde : une semigroupe possédent un élément neutre
• groupe : un monoïde où tout élément possède un inverse, une boucle associative
• groupe abélien : un groupe commutatif

Anneaux

Ces structures comportent deux lois de composition internes.

• semianneau : similaire à un anneau, mais sans inverses additifs
• anneau : un ensemble muni d’une structure de groupe (la loi de composition étant nommée addition) et d’une structure de monoïde (la loi de composition correspondante étant nommée multiplication), la multiplication étant distributive sur l’addition
• anneau commutatif : un anneau dont la multiplication est commutative
• anneau à division : un anneau où l’élément neutre de l’addition n’est pas celui de la multiplication et où tout élément non nul à un inverse multiplicatif.
• corps : un anneau à division commutatif

Modules

Structures possédant à la fois une loi de composition interne et une loi de composition externe sur un anneau.

• module (sur un anneau A) : un ensemble possédant une structure de groupe abélien, plus une multiplication scalaire sur chaque élément de A, associative avec la multiplication de cet anneau
• espace vectoriel : un module sur un corps
• espace préhilbertien : un espace vectoriel pourvu d’un produit scalaire

Algèbres

• algèbre sur un corps : un module ou un espace vectoriel muni en plus d’une loi de composition extèrne sur le corps nommée multiplication
• algèbre associative : une algèbre dont la multiplication est associative
• algèbre commutative : une algèbre dont la multiplication est commutative
• algèbre de Lie : un type particulier d’algèbre non-associative
• algèbre de Clifford : une algèbre associative munie d'une application linéaire particulière

Treillis

• treillis : un ensemble muni de deux lois de composition internes commutatives, associatives et idempotentes sastisfaisant la loi d’absorption
• algèbre de Boole : un treillis borné, distributif et complémentaire

Généralités

Les structures algébriques peuvent également posséder des caractéristiques additionnelles non-algébriques, par exemple topologiques. Un groupe topologique est une espace topologique possédant une structure de groupe de telle façon que la loi de composition interne soit continue. Un tel groupe topologique possède des structures algébriques et topologiques. D’autres exemples incluent les espaces vectoriels topologiques et les groupes de Lie.

Toute structure algébrique possède sa propre notion de l’homomorphisme, une application compatible avec ses lois de composition. En ce sens, toute structure algébrique définit une catégorie.