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Structure algébrique

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique consiste en un ensemble combiné avec une ou plusieurs lois de composition sur cet ensemble, satisfaisant un certain nombre d’axiomes.

Sommaire

Classification

Suivant les lois de composition et les axiomes considérés, les structures algébriques prennent différentes appellations. Les paragraphes ci-dessous regroupent les principales structures suivant leur similitude.

Groupes

Les structures algébriques les plus simples, ne comportant qu’une loi de composition interne.

Anneaux

Ces structures comportent deux lois de composition internes.

Modules

Structures possédant à la fois une loi de composition interne et une loi de composition externe sur un anneau.

Algèbres

Treillis

Généralités

Les structures algébriques peuvent également posséder des caractéristiques additionnelles non-algébriques, par exemple topologiques. Un groupe topologique est une espace topologique possédant une structure de groupe de telle façon que la loi de composition interne soit continue. Un tel groupe topologique possède des structures algébriques et topologiques. D’autres exemples incluent les espaces vectoriels topologiques et les groupes de Lie.

Toute structure algébrique possède sa propre notion de l’homomorphisme, une application compatible avec ses lois de composition. En ce sens, toute structure algébrique définit une catégorie.



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