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Suite (mathématiques élémentaires)

Intuitivement une suite réelle est une règle qui associe à un entier naturel, un certain nombre réel ; ce nombre réel est alors indexé par l’entier. En fait une suite est un moyen d’indexer des nombres réels par des entiers naturels.

Une suite réelle est une application de l’ensemble des entiers naturels ou d'une partie A de à valeurs dans .
Soit u :A→ une suite réelle. Nous notons u_n, l’image u(n) de n par u et nous appelons u_n le terme d’indice n de la suite. Nous notons l’application u : (u_n) _{n ∈ A} ou plus simplement (u_n).

Lorsque A=, la suite u a pour ensemble d'indice l'ensemble des entiers naturels , nous obtenons la suite :

( u₀, u₁, …, u_n, …)

Les derniers trois petits points consécutifs signifient qu’il y a une infinité de termes après.

Si A={1,2,…, n} alors nous obtenons la suite finie, de n termes :

( u₁, u₂, …, u_n)

Remarquons que la notation (u_n) correspond à une application alors que la notation u_n désigne un nombre réel.

Dans la pratique, les suites sont souvent indexées sur .

Donnons quelques exemples de suites :

• est la suite nulle.
• est la suite de tous les entiers naturels.
• est la suite de tous les entiers naturels pairs.
• est la suite des carrés des entiers naturels.
• est la suite (1, -1, 1, -1, ..., 1, -1, …).

Variations d’une suite

Soit u=(u_n) une suite réelle, donnons les définitions suivantes :

Croissance

La suite u est dite croissante si pour tout entier naturel n, u_n⩽ u_n+1

On a donc, u₀⩽ u₁⩽…⩽ u_n⩽ u_n+1⩽…

Décroissance

La suite u est dite décroissante si pour tout entier naturel n, u_n+1⩽ u_n

On a donc … u_n+1 ⩽u_n⩽…⩽ u₁⩽ u₀

Monotonie

La suite u est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Suite stationnaire

Une suite u est dite stationnaire s’il existe un entier naturel n₀ tel que pour tout entier naturel n, supérieur à n₀ :

On a donc

Exemples :

• Si pour tout entier naturel n, u_n= 2n+1

La suite u est croissante.

• Si pour tout entier naturel n non nul,

La suite v est décroissante.

u et v sont donc monotones.

• En revanche, la suite w définie par : pour tout entier naturel n,

n'est pas monotone en effet , , .

Elle n'est ni croissante, ni décroissante.

• Étudier les variations d’une suite c’est déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Donnons quelques règles pratiques permettant d’étudier les variations d’une suite

• on étudie pour tout entier naturel n, le signe de
• lorsque tous les termes de la suite sont strictement positifs et qu’ils sont sous forme d’un produit, on peut étudier pour tout entier naturel n, le rapport et on le compare à 1
• si le terme général u_n et de la forme f(n) où f est une fonction définie sur et si f est croissante (resp. décroissante) alors u est croissante (resp. décroissante).

Majorant minorant

• Suite majorée

Une suite u est dite majorée s'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n  :

u_n ⩽ M

Le réel M est appelé un majorant de la suite.

• Suite minorée

Une suite u est dite minorée s'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n  :

m ⩽ u_n

Le réel m est appelé un minorant de la suite.

• Suite bornée

Une suite u est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Dans ce cas, il existe des réels M et m tels que pour tout entier naturel n :

m ⩽ u_n ⩽ M

Proposition :

Une suite u est bornée si et seulement s’il existe un réel A tel que pour tout entier naturel n, on ait :

|u_n| ⩽ A

Conséquence :

Pour démontrer qu’une suite u est bornée, il suffit de monter que la suite (|u_n|) est majorée.

Exemples :

La suite u définie par :

pour tout entier naturel n, u_n= -3n + 1

est majorée par 1 mais n’est pas minorée.

La suite v définie par :

pour tout entier naturel n, v_n=(n-7)²

est minorée par 0 mais n’est pas majorée.

La suite w définie par

pour tout entier naturel non nul n,

est bornée.

Questions :

1. La suite x définie par :

pour tout entier naturel n,

admet-elle comme majorant n ?

1. La suite y définie par :

pour tout entier naturel n,

est-elle majorée, minorée, bornée ?

Propriétés :

• Une suite croissante u est minorée par son premier terme u₀.
• Une suite décroissante u est majorée par son premier terme u₀.

Règle pratique :

Lorsque le terme général u_n d’une suite s’écrit sous la forme d’une somme de n termes, nous pouvons minorer la somme par n fois le plus petit terme de la somme et majorer par n fois le plus grand. Mais cela ne permet pas toujours d’obtenir un minorant ou un majorant de la suite.

Limite, convergence, divergence

Voir l'article Limite (mathématiques élémentaires).

Voir aussi

• Suite