Page d'accueil	encyclopedie-enligne.com en page d'accueil
Liste Articles: [0-A] [A-C] [C-F] [F-J] [J-M] [M-P] [P-S] [S-Z] | Liste Catégories | Une page au hasard | Pages liées

Surjection

Une fonction est dite surjective ou est une surjection si pour tout y dans l'ensemble d'arrivée Y il y a au moins un élément x de l'ensemble de définition X tel que f(x) = y. De façon équivalente, l'image de f, f(X) est égale à l'ensemble d'arrivée Y.

Quand X et Y sont tous les deux égaux à la droite réelle , alors une fonction surjective a un graphe qui intersecte toute droite horizontale.

Si une surjection est aussi une injection, alors on l'appelle une bijection.

Exemple concret

Prenons le cas d'une station de vacances. Il y correspond l'application d'un certain ensemble de touristes sur un certain nombre de chambres d'hôtel :

• Les touristes souhaitent que l'application soit injective, c'est-à-dire que chaque touriste ait une chambre individuelle.
• L'hôtelier souhaite que l'application soit surjective, c'est-à-dire que chaque chambre soit occupée.
• Ces desiderata n'ont rien d'incompatible, et l'application sera dite bijective si elle est à la fois injective et surjective, et qu'en d'autres termes chaque touriste a sa chambre et chaque chambre son touriste.

Exemples et contre-exemples

Fonctions sur les réels:

f(x) = x²

n'est pas surjective, car il n'y a pas de x tel que f(x) = -4, par exemple. En revanche, si on change la définition de f en donnant son ensemble d'arrivée comme étant R+, alors elle le devient.

Considérons la fonction définie par f(x) = 2x + 1. Cette fonction est surjective, puisque pour tout réel arbitraire y, nous pouvons trouver des solutions de l'équation y = 2x + 1 d'inconnue x; une solution est x = (y − 1)/2.

En revanche, la fonction définie par g(x) = (cos x)² n'est pas surjective, parce que (par exemple) il n'existe pas de réel x tel que (cos x)² = -1.

D'autre part, si nous définissons la fonction par la même relation que g, mais avec un ensemble d'arrivée qui a été restreint à l'ensemble des nombres réels compris entre 0 et 1, alors la fonction h est surjective. Cela s'explique par le fait que, pour tout réel arbitraire y de l'intervalle [0, 1], nous pouvons trouver des solutions de l'équation y = (cos x)² d'inconnue x qui sont par exemple x = Arccos(√y) ou x = Arccos(−√y).

Propriétés

• Une fonction f: X → Y est surjective si et seulement si il existe une fonction g: Y → X telle que f ^o g soit égale à la fonction identique sur Y. (cette proposition est équivalente à l'axiome du choix.)
• Une fonction est bijective si et seulement si elle est à la fois surjective et injective.
• Si f ^o g est surjective, alors f est surjective.
• si f et g sont toutes les deux surjectives, alors f ^o g est surjective.
• f: X → Y est surjective si et seulement si, pour toutes fonctions données g,h:Y → Z, lorsque g ^o f = h ^o f, alors g = h. En d'autres termes, les fonctions surjectives sont précisément les épimorphismes dans les catégories d'ensembles.
• Si f: X → Y est surjective et B est un sous-ensemble de Y, alors f(f ⁻¹(B)) = B. Ainsi, B peut retrouvé à partir de l'image directe de f ⁻¹(B).
• Toute fonction h: X → Z peut être décomposée comme h = g ^o f pour une surjection f et une injection g convenables. Cette décomposition est unique à une isomorphisme près, et f peut être considérée comme fonction prenant les même valeurs que h mais avec son ensemble d'arrivée restreint à l'image de h, h(X), qui est seulement un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée Z de h.
• Si f: X → Y est une fonction surjective, alors X a au moins autant d'éléments que Y, au sens des cardinaux. (cette proposition est aussi équivalente à l'axiome du choix.)