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Symétrie

Une symétrie est une transformation (d'un point de vue mathématiques). Il existe deux types de symétrie :


Sommaire

Symétrie orthogonale

Une symétrie orthogonale d'axe d est une transformation qui fait correspondre à tout point A un point B tel que d soit la médiatrice de [AB].

Le point B est appelé symétrique de A par rapport à d ou image du point A par la symétrie orthogonale d'axe d.

Elle est aussi appelé symétrie axiale. La droite d est appelée axe de symétrie.

Le point B, symétrique de A, est aussi appelé image de A par la symétrie d'axe (xy).

Le fait que le segment joignant un point et son symétrique, soit orthogonal à l'axe, justifie l'appellation de symétrie orthogonale.

Construction

Données : l'axe de symétrie d, le point A.

Objectif : construire B symétrique de A par la symétrie orthogonale d'axe d.

Tracez une droite perpendiculaire à (xy) passant par A. Cette droite coupe l'axe en un point H.
Avec le compas pointé en H et écarté jusque A, recouper la droite (AH) en B
Le point A étant connu, l'axe (xy) doit être la médiatrice de [AB].
Pour construire le point B nous allons utiliser la propriété suivante :
 Tout point d'une médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment.
Nous choisissons deux points quelconques P et Q de d et nous allons déterminer un point B tel que PA=PB et QA=QB.
Ainsi nous sommes certains que (PQ), c'est-à-dire d, est la médiatrice de [AB]. 
Choisissez P et Q sur d.
Placez la pointe sèche du compas sur P et écartez l'autre branche jusque A. Tracez un arc (voir figure 1 ci-contre).
Exécutez la même chose avec la pointe sèche en Q.
Les deux arcs se coupent en A et en B.

Propriétés

Si B est le symétrique de A par rapport à d, alors A est symétrique de B par rapport à (xy). On dit plus simplement que A et B sont symétriques par rapport à d.

Si le point A est sur l'axe d alors son symétrique est lui-même.

Les symétries orthogonales conservent:

Axe de symétrie

Une figure possède un axe de symétrie lorsqu'en la pliant selon cet axe, les deux parties de la figure se superposent.

Exemples de figures usuelles :

Symétrie centrale

Une symétrie centrale de centre O est une transformation qui fait correspondre à tout point A un point B tel que le milieu de [AB] est O.

Le point B est appelé symétrique de A par rapport à O ou image du point A par la symétrie centrale de centre O.

Construction

Données : le centre de symétrie O et le point A.

Objectif : construire le symétrique B de A par la symétrie centrale de centre O.

Tracez la droite (d) passant par A et O.
Prolongez la au-delà de O.
Avec un compas pointé en O et un écartement égal à OA, recoupez (d) en B.

Propriétés

Si le symétrique de A par rapport à O est B alors O est le milieu du segment [AB].

Si O est le milieu du segment [AB] alors les points A et B sont symétriques l'un de l'autre.

Les symétries centrales conservent :

Centre de symétrie

Une figure possède un centre de symétrie lorsque le symétrique de cette figure par rapport à ce centre, est la figure elle-même. Autrement dit: la figure se transforme en elle-même.

Exemples de figures usuelles :

Voir aussi

En chimie : chiralité, isomérie



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