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Symétrie

Une symétrie est une transformation (d'un point de vue mathématiques). Il existe deux types de symétrie :

• la symétrie orthogonale (aussi appelée symétrie axiale)
• la symétrie centrale

Symétrie orthogonale

Une symétrie orthogonale d'axe d est une transformation qui fait correspondre à tout point A un point B tel que d soit la médiatrice de [AB].

Le point B est appelé symétrique de A par rapport à d ou image du point A par la symétrie orthogonale d'axe d.

Elle est aussi appelé symétrie axiale. La droite d est appelée axe de symétrie.

Le point B, symétrique de A, est aussi appelé image de A par la symétrie d'axe (xy).

Le fait que le segment joignant un point et son symétrique, soit orthogonal à l'axe, justifie l'appellation de symétrie orthogonale.

Construction

Données : l'axe de symétrie d, le point A.

Objectif : construire B symétrique de A par la symétrie orthogonale d'axe d.

• Première méthode :

Tracez une droite perpendiculaire à (xy) passant par A. Cette droite coupe l'axe en un point H.
Avec le compas pointé en H et écarté jusque A, recouper la droite (AH) en B

• Deuxième méthode :

Le point A étant connu, l'axe (xy) doit être la médiatrice de [AB].
Pour construire le point B nous allons utiliser la propriété suivante :
 Tout point d'une médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment.

Nous choisissons deux points quelconques P et Q de d et nous allons déterminer un point B tel que PA=PB et QA=QB.
Ainsi nous sommes certains que (PQ), c'est-à-dire d, est la médiatrice de [AB]. 

Choisissez P et Q sur d.
Placez la pointe sèche du compas sur P et écartez l'autre branche jusque A. Tracez un arc (voir figure 1 ci-contre).
Exécutez la même chose avec la pointe sèche en Q.
Les deux arcs se coupent en A et en B.

Propriétés

Si B est le symétrique de A par rapport à d, alors A est symétrique de B par rapport à (xy). On dit plus simplement que A et B sont symétriques par rapport à d.

Si le point A est sur l'axe d alors son symétrique est lui-même.

Les symétries orthogonales conservent:

• Les distances.
• Le parallélisme et l'orthogonalité.
• Les mesures des angles et les alignements.
• Les aires: le calcul sur les aires utilise des longueurs et des propriétés (angles notamment) qui sont conservées.

Axe de symétrie

Une figure possède un axe de symétrie lorsqu'en la pliant selon cet axe, les deux parties de la figure se superposent.

Exemples de figures usuelles :

• Le cercle possède une infinités d'axes de symétrie : tous ses diamètres.
• Un angle quelconque a toujours un axe de symétrie : sa bissectrice.
• Le triangle isocèle possède un axe de symétrie : sa bissectrice principale.
• Le triangle équilatéral possède 3 axes de symétrie : ses 3 bissectrices.
• Le losange en possède 2 : ses 2 diagonales.
• Le rectangle en possède 2 : ses 2 médianes.
• Le carré en possède 4 : ses 2 diagonales (puisque c'est aussi un losange) et ses 2 médianes (puisque c'est aussi un rectangle).

Symétrie centrale

Une symétrie centrale de centre O est une transformation qui fait correspondre à tout point A un point B tel que le milieu de [AB] est O.

Le point B est appelé symétrique de A par rapport à O ou image du point A par la symétrie centrale de centre O.

Construction

Données : le centre de symétrie O et le point A.

Objectif : construire le symétrique B de A par la symétrie centrale de centre O.

Tracez la droite (d) passant par A et O.
Prolongez la au-delà de O.
Avec un compas pointé en O et un écartement égal à OA, recoupez (d) en B.

Propriétés

Si le symétrique de A par rapport à O est B alors O est le milieu du segment [AB].

Si O est le milieu du segment [AB] alors les points A et B sont symétriques l'un de l'autre.

Les symétries centrales conservent :

• Les distances.
• Le parallélisme et l'orthogonalité.
• Les mesures des angles et les alignements.
• Les aires: le calcul sur les aires utilise des longueurs et des propriétés (angles notamment) qui sont conservées.

Centre de symétrie

Une figure possède un centre de symétrie lorsque le symétrique de cette figure par rapport à ce centre, est la figure elle-même. Autrement dit: la figure se transforme en elle-même.

Exemples de figures usuelles :

• Tous les parallélogrammes (avec leurs cas particuliers: losanges, rectangles et carrés) ont pour centre de symétrie, le point d'intersection de leurs diagonales.
• L'hexagone est un polygone qui admet l'intersection de ses diagonales comme centre de symétrie.
• Le cercle admet son centre comme centre de symétrie.

Voir aussi

En chimie : chiralité, isomérie