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Cet article fait partie de la série Systèmes de numération |
| Chiffre arabe |
| Numérations |
| arabe ─ arménienne |
| babylonienne ─ chinoise |
| copte ─ égyptienne |
| éthiopienne ─ grecque |
| gotique ─ hébraïque |
| indienne ─ japonaise |
| maya ─ romaine |
| slave ─ thaï |
| positionnelle |
La mise en place des systèmes arithmétiques positionnels, en particulier du système décimal, fut initiée par les chinois dans leur numération chinoise au IIe siècle avant J-C, puis finalisée vers l'an 500 de notre ère en Inde. Ce fut une des découvertes majeures de l'histoire des mathématiques.
Dans les systèmes arithmétiques positionnels les nombres sont d'abord exprimés en base unique, par exemple en base 10. Puis, sont définis exactement autant de chiffres à valeurs différentes que la base elle même (dix dans le Système décimal), dont un chiffre doit nécessairement exprimer la valeur nulle. Ainsi il devient possible d'exprimer tout nombre dans un système à position, qui seul permet l'utilisation généralisée des algorithmes arithmétiques et qui rend par ce fait superflu le recours à des outils analogiques comme les bouliers, donc l'abaque ou les tablettes de calcul à jetons.
Inconnue de tous les grands mathématiciens de l'Antiquité, la numération à position se révèle être indispensable pour les mathématiques modernes. Dans l'Antiquité, on utilisait exclusivement des systèmes nombreux non-positionnels, dont l'exemple le plus connu est la numération romaine où le nombre trente-huit par exemple, s'écrit à l'aide de pas moins de sept chiffres (XXXVIII), tandis que le nombre cinquante, se contente d'un seul (L). Il est clair, que dans un tel système de notation, une simple opération comme une addition, voire une multiplication, se révèle pratiquement impossible à effectuer sans boulier ou autre outil de calcul.
| Sommaire |
Une base de numération est un entier supérieur ou égal à 2. Soit N une base de numération, le système de numération est doté de N chiffres allant de 0 à N-1.
Le système de numération le plus couramment utilisé est le système décimal (base 10), fondé sur les mathématiques indiennes, mais d'autres systèmes ont été ou sont utilisés, par exemple en informatique, où on se sert parfois du système binaire (base 2), plus souvent du système octal (base 8) et très souvent du système hexadécimal (base 16). Dans ce dernier cas, les chiffres supérieurs à 9 sont représentés par les lettres de A à F. Boby Lapointe avait eu une intuition comique d'un tel système qu'il avait baptisé Système bibi-binaire.
Les Babyloniens utilisaient le système sexagésimal (base 60), ainsi que les Indiens et les Arabes en trigonométrie et encore aujourd'hui dans la mesure du temps et des angles. Le système vicésimal (ou vigésimal, base 20) a été utilisé par les Gaulois, les Mayas et les Basques. Certains historiens estiment que la civilisation de la vallée de l'Indus utilisait initialement un système octal.
Enfin, le système impérial d'unités utilisés dans les pays anglo-saxons est, partiellement, duodécimal.
Pour passer d'un nombre en base 10 à un nombre en base N, on peut appliquer la méthode suivante ::
Soit K le nombre en base 10 à convertir en base N.
Exemple : conversion du nombre 3257 en base 16
Sachant que 11 se note B et que 12 se note C, l'écriture de 3257 en base 16 est
Pour passer d'un nombre en base N à un nombre en base 10, on peut appliquer la méthode suivante ::
Soit K le nombre en base N à convertir. Pour tout chiffre c de rang r dans K, on calcule c×N r. La représentation de K en base 10 est la somme de tous les produits.
Exemple
Le nombre « 10110 » en base 2 s'écrit en base 10 :
Exemple
Le nombre « 3FA » en base 16 s'écrit en base 10 :
