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Système binaire


Cet article est consacré au système de numération binaire. En astrophysique, un système binaire est également un système constitué de deux astres tournant l'un autour de l'autre (voir étoile binaire).


Le système binaire est un système de numération utilisant la base 2. On nomme couramment bit (de l'anglais binary digit) les chiffres de la numérotation binaire. Ceux ci ne peuvent prendre que deux valeurs, notées par convention 0 et 1.

Le système binaire est souvent utilisé pour représenter des valeurs telles que « vrai » et « faux », « tout » et « rien », « on » et « off ». Il convient notamment pour représenter le fonctionnement de l'électronique numérique utilisée dans les ordinateurs, d'où son usage en informatique. S'il se montre peu efficace pour l'usage humain (il faut 16 chiffres binaires pour représenter un nombre décimal de 5 chiffres !), il permet d'utiliser en électronique des circuits de commutation, dont le coût unitaire est si faible (quelques picoeuros) que la charge des traductions depuis et vers le décimal ne constitue plus un problème.


Sommaire

Codage binaire

Le codage le plus courant est l'équivalent en base deux de la numération de position que nous utilisons quotidiennement en base 10.

Pour trouver la représentation binaire d'un nombre, on le décompose en somme de puissances de 2. Par exemple avec le nombre dont la représentation décimale est 59 :

 59 = 1×32 + 1×16 + 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1
 59 = 1×25 + 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 1×20
 59 = 111011 en binaire

Avec n bits, ce système permet de représenter les nombres entre 0 et 2n-1. Il est donc possible de compter sur ses dix doigts jusqu'à 1024 (210) en binaire. Il suffit d'affecter à chaque doigt une valeur binaire (pouvant être représenté par un doigt plié).

Complément à deux

Ce codage permet de représenter des nombres négatifs. Dans ce système, multiplier un nombre par -1 consiste à permuter les valeurs de chaque bits et à ajouter 1 au nombre obtenu:

Par exemple pour obtenir -5:

0101 codage de 5 en binaire
1010 on permute la valeur de chaque bits
1011 on ajoute 1

Ce codage à l'avantage de ne pas nécessiter de différenciation spéciale des nombres positifs et négatifs, et évite en particulier le problème d'ordinateurs anciens (Control Data 6600) qui avaient un « +0 » et un « -0 » dont il fallait faire comprendre aux circuits de tests que c'était le même nombre ! Voici une addition de -5 et +7 réalisée en complément à deux sur 4 bits :

 -5 1011 
 +7 0111
 __ ____
 2 (1) 0010 (on 'ignore' la retenue)

Avec n bits, ce système permet de représenter les nombres entre -2n-1 et 2n-1-1.

voir article détaillé: Complément à deux

Code Gray ou binaire réfléchi

Ce codage permet de ne faire changer qu'un seul bit à la fois quand un nombre est augmenté d'une unité.

0 0000
1 0001
2 0011
3 0010
4 0110
5 0111
6 0101
7 0100

Il est surtout utilisé pour coder des positions, par exemple sur des règles optiques.

Décimal codé binaire (« binary coded decimal », ou BCD)

Ce codage consiste à représenter chacun des chiffres de la numérotation décimale sur 4 bits:

1994 = 0001 1001 1001 0100
 1*1000 + 9*100 + 9*10 + 4*1

Il présente l'aventage de simplifier la conversion avec la notation décimale.

Avec n bits (n multiple de 4), il est possible de représenter les nombres entre 0 et 10n/4-1. Soit approximativement entre 0 et 1.778n-1. Le BCD est un code redondant, en effet certaines combinaisons ne sont pas utilisées (comme 1111 par exemple).

Cette représentation évite par construction tous les problèmes gênants de cumul d'arrondi qui interviendraient lors de la manipulation de grands nombres dépassant la taille des circuits en arithmétique entière et obligent à recourir au flottant. Il est cependant possible de manipuler des nombres à précision arbitraire en utilisant un codage plus efficient que le BCD.

Il existe des variantes du codage BCD:

Applications

Théorie de l'information

En théorie de l'information, on peut utiliser le bit comme unité de mesure de l'information. La théorie elle-même est indifférente à la représentation des grandeuurs qu'elle utilisie.

Logique

La logique classique est une logique bivalente: une proposition est soit vraie, soit fausse. Il est donc possible de représenter la vérité d'une proposition par un chiffre binaire. On peut par exemple modéliser les opérations de l'arithmétique binaire à l'aide de l'algèbre de Boole.

L'algèbre de Boole représente un cas très particulier d'usage des probabilités ne faisant intervenir que les seules valeurs de vérité 0 et 1. Voir Théorème de Cox-Jaynes.

Informatique

Le binaire est utilisé en informatique car il permet de modéliser le fonctionnement des composants de commutation comme le TTL ou le CMOS. La présence d'un seuil de tension au bornes des transistors, en négligeant la valeur exacte de cette tension, représentera 0 ou 1. Par exemple le chiffre 0 sera utilisé pour signifier une absence de tension à 0,5V près, et le chiffre 1 pour signifier sa présence à plus de 0,5V. cette marge de tolérance permet de pousser les cadences des microprocesseurs à des valeurs atteignant sans problème (hormis d'échauffement) plusieurs gigahertz.

En informatique, la représentation binaire permet de clairement manipuler des bits : chaque chiffre binaire correspond à un bit. La représentation binaire nécessitant l'usage de beaucoup de chiffres (même pour des nombres assez petits), ce qui entraînerait d'importants problèmes de lisibilité et donc de risques d'erreur de transcription pour les programmeurs on lui préfère pour eux une représentation parfois octale ou plus fréquemment hexadécimale. La quasi totalité des microprocesseurs actuels travaillant avec des mots de 8, 16, 32 ou 64 bits, la notation hexadécimale permet de manipuler l'information par paquets de 4 bits (contre 3 pour la notation octale plus populaire du temps des premiers minordinateurs DEC à 12 bits).

Théorie des graphes (et jeux combinatoires)

La stratégie gagnante du jeu de Marienbad peut se représente de façon concise en utilisant la numération binaire pour caractériser les mouvements apparenant au noyau du graphe, celui où existe toujours un mouvement conduisant à une victoire assurée.

Voir aussi




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