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Table de logarithmes

Une table de logarithmes est une représentation tabulaire des logarithmes (généralement en base 10) des nombres de 1,00 à 9,99. De simples tables de logarithmes à cinq décimales sont généralement développées de telle sorte que les nombres formés des deux premiers chiffres (de 10 à 99) forment le bord gauche du tableau, tandis que les derniers chiffres (de 0 à 9) apparaissent en tête de colonne. La connaissance des logarithmes des nombres compris entre 1,00 et 9,99 suffit, puisque le logarithme des autres nombres peut être obtenu facilement; seule la partie devant la virgule (caractéristique du logarithme) change.

Exemple: Le logarithme de 2 est 0,30103...; le logarithme de 20 est 1,30103... et le logarithme de 200 est 2,30103... Des logarithmes de nombres avec quatre chiffres significatifs se laissent calculer avec une interpolation linéaire.

Produire une table de logarithme

Nous allons décrire comment construire une table des logarithmes de base 10, sans ordinateur comme cela se faisait il y a quelques années, uniquement avec les opération arithmétiques de base (addition et division).

Si nous devons effectuer les calculs à la main, nous avons besoin de beaucoup de temps pour atteindre une précision de trois décimales exactes.

Première étape: Nous déterminons dans un premier temps la suite des puissances du nombre 1,01 jusqu'à ce que le nombre 10 (la base) soit atteint. C'est-à-dire que nous commençons avec la première puissance (1,01), puis nous ajoutons le nombre décalé vers la droite de deux chiffres après la virgule (multiplié par 0,01) et nous obtenons la deuxième puissance:

1,01 + 0,0101 = 1,0201.

Nous continuons ainsi, en arrondissant ensuite les résultats en tronquant les chiffres après la quatrième décimale:

La troisième puissance de 1,01 est égale à 1,0303; la 4e puissance est égale à 1,0406; ... en utilisant les règles classiques des arrondis:

Exemple: la 11e puissance vaut 1,1155; la 12e puissance est alors 1,1155 + 0,0112 = 1,1267.

Enfin la puissance 231ème est 9,959; et la puissance 232ème est 10,059.

Nous nous arrêtons puisque nous venons de dépasser 10. À cause des valeurs obtenus on peut estimer que 10 aurait été achevé à peu près à la « 231,4e puissance ». (Voir dessous: «Le principe...» pour une preuve)

Deuxième étape: Il apparaît que 232 étapes sont nécessaires, pour atteindre le nombre 10,00. Nous dressons ensuite une autre table, en déterminant les logarithme de tous les nombres compris entre 1 et 10 avec une interpolation linéaire.

Essayons de déterminer par exemple de logarithme du nombre 2. Nous devons parcourir notre table des puissances de 1,01 pour nous rendre compte que 2,00 se situe entre la 69e puissance (1,9867) et la 70e puissance de 1,01 (2,0066). D'une interpolation linéaire, 2 en ressort avec une puissance de 69,7. Pour déterminer son logarithme, il nous reste plus qu'à effectuer une division 69,7 / 231,4 = 0,3012. Puisque la valeur précise est 0,30103, la précision souhaitée est atteinte.

Le principe est simple, nous déterminons par cette méthode une valeur approchée du logarithme de base 1,01 d'un nombre compris entre 1 et 10 et nous en déduisons une valeur approchée du logarithme en base 10 en divisant par

Historiquement, des tables de logarithmes furent construites à la main à partir des puissances de 1,000001. Ajoutons que les tables de logarithmes étaient vendues relativement cher.