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Tenseur métrique


En géométrie différentielle, le tenseur métrique est un tenseur de rang 2 qui est utilisé pour la mesure des distances et des angles.

Lorsqu'un système de coordonnée est choisi, le tenseur métrique apparaît comme une matrice, généralement notée G. La notation gij est conventionnellement utilisée pour les composants du tenseur métrique. Dans ce qui suit, la convention de sommation d'Einstein est utilisée.

La longueur d'un segment d'une courbe paramétrée par t partant du point a et arrivant au point b est défini par:

L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij}dx^idx^j}

L'angle entre deux vecteurs tangents et est définie par:

\cos \theta = \frac{g_{ij}U^iV^j} {\sqrt{ \left| g_{ij}U^iU^j \right| \left| g_{ij}V^iV^j \right|}}

Pour calculer le tenseur métrique à partir des équations donnant la relation entre l'espace considéré et un espace cartésien, c'est-à-dire un espace pour lequel gij = δij (cfr. delta de Kronecker), il faut calculer le jacobien des ces équations. Le tenseur métrique est le produit de ce jacobien par sa transposée:

Exemple

Dans un espace euclidien à 2 dimensions le tenseur métrique est:

G = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

et la longueur d'une courbe vaut:

L = \int_a^b \sqrt{ (dx^1)^2 + (dx^2)^2}

Exemples de métriques euclidiennes

Coordonnées polaires:

G = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (x^1)^2\end{bmatrix}

Coordonnées cylindriques:

G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

Coordonnées sphériques:

G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (x^1\sin x^2)^2\end{bmatrix}

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