Page d'accueil
encyclopedie-enligne.com en page d'accueil| Page d'accueil |
encyclopedie-enligne.com en page d'accueil |
|||||
| Liste Articles: [0-A] [A-C] [C-F] [F-J] [J-M] [M-P] [P-S] [S-Z] | Liste Catégories | Une page au hasard | Pages liées | ||||||
Le théorème d'Al-Kashi, également connu sous le nom de théorème de Pythagore généralisé puisque le théorème de Pythagore en est un cas particulier, décrit le lien entre le cosinus d'un angle dans un triangle quelconque et les longueurs de ses côtés. Plus précisément, le théorème d'Al-Kashi permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle quelconque en connaissant les longueurs des deux autres côtés et l'angle qu'ils forment.
Si l'angle en A est droit (90°), on retrouve le théorème de Pythagore.
| Sommaire |
Lee Éléments d'Euclide, datant du IIIe siècle av. J.-C. contenaient déjà une approche géométrique de la généralisation (livre II, propositions 12 et 13). Le mérite revient à Al-Kashi, mathématicien de l'école de Samarcande au XVe siècle, d'avoir unifié ce résultat. Le théorème a été redécouvert au XVIe siècle par François Viète.
|
Figure 1
En considérant la construction de la figure 1, l'aire du rectangle construit sur le coté OB vaut OB². Le rectangle bleu a pour longueur OB et pour largeur OA. Le triangle OAB' étant rectangle en A, on trouve
|
|
Figure 2
En suivant le même raisonnement avec la construction de la figure 2, le carré construit sur le côté OB' a pour aire OB'². Le rectangle vert a pour longueur OB' et pour largeur OA'. Le triangle OA'B étant rectangle en A', on trouve L'aire du rectangle orange vaut donc |
La somme des aires des rectangles jaunes et orange est égale à l'aire du rectangle construit sur BB'. Si l'on regarde la figure 3, représentant un triangle acutangle dont les trois hauteurs ont été tracées, les deux rectangles jaunes ont la même aire et les deux rectangles orange aussi.
La démonstration de l'égalité des deux rectangles jaunes est illustrée à la figure 4. La démonstration est similiaire pour les rectangles orange. Cette démonstration se base sur le fait que deux parallélogrammes, ayant un côté commun et la même hauteur par rapport à ce côté, ont la même aire. Pour rappel, l'aire d'un parallélogramme est le produit de la base par la hauteur correspondante.
Le rectangle ADCB est déformé le long de AD pour faire coïncider le point A et le point B' (étapes 2 à 4). À ce stade, et sont toujours égaux, les droites sont toujours paralèlles, et est toujours la hauteur du parallélogramme. L'aire de ADCB n'a donc pas changé.
Ensuite, une simple rotation est effectuée autour du point B pour amener le point C en O (étapes 5 et 6). Avant la rotation, l'angle du parrallélogramme en B est
Après la rotation, l'angle du parrallélogramme en B est
où est l'angle du carré orange et jaune en B. Or, comme
il s'en suit que
L'angle du parrallélogramme en B est bien conservé, la rotation est donc possible.
Enfin, une déformation similaire à la première est effectuée pour faire coïncider le parallélogramme avec le rectangle jaune situé en dessous du triangle.
La somme des aires jaunes et orange vaut :
| = | ||
| = | ||
| cqfd |
La démonstration est beaucoup plus simple à partir du produit scalaire :
| a² | = | |
| = | ||
| = | ||
| = |
