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Théorème d'impossibilité d'Arrow

Le théorème d'impossibilité d'Arrow, également appelé « paradoxe d'Arrow », est une confirmation mathématique dans certaines conditions précises du paradoxe évoqué par Condorcet selon lequel il n'existerait pas de fonction de choix social indiscutable, permettant d'agréger des préférences individuelles en préférences sociales. Pour Condorcet, il n'existait pas de système simple assurant cette cohérence. Arrow démontre, sous réserve d'acceptation de ses hypothèses, qu'il n'existerait pas de système du tout assurant la cohérence, hormis celui - non démocratique - où un dictateur seul imposerait ses choix à tout le reste de la population.

Il fut plus tard établi que le paradoxe d'Arrow disparaissait si les préférences des électeurs pouvaient se matérialiser par une position sur un axe unique. Le préordre devient alors un ordre total et le paradoxe disparaît. Cette caractéristique est parfois rappelée lors des discussions sur les tendances au bipolarisme en politique.

Origine

L'auteur

Ce résultat est dû à Kenneth Arrow, prix Nobel d'Économie, lequel l'a démontré dans sa thèse et l'a publié en 1951 dans son livre Choix social et valeurs individuelles (Social Choice and Individual Values).

Préférences

Pour les mathématiciens, ce que les économistes appellent « préférences » correspond à un préordre complet ou, à la limite, un ordre complet (on parle alors de « préférences strictes »).

Pour les autres, les « préférences » d'un individu correspondent à l'ordre qu'un individu établit entre les options qui s'offre à lui. Ces préférences sont dites strictes lorsque l'individu ne classe jamais deux options ex-æquo. Pour que la description de cette notion soit complète, on suppose que l'ordre qu'un individu établit entre les différentes options existantes n'est pas modifié par l'ajout d'options supplémentaires. En d'autres termes, si un individu ayant des préférences classe une fois l'option A devant l'option B, il classera toujours A devant B quelles que soient les autres options présentes, ce qui constitue une manifestation de la cohérence de son choix.

Un profil de préférences est le nom donné un « groupe » de préférences individuelles. On nomme préférences sociales des préférences qui valent au niveau social.

Les problèmes

Il s'agit d'agréger un ensemble de préférences individuelles en un ensemble de préférences sociales, autrement dit un ensemble d'ordres individuels en un ordre social.

Quelques exemples:

• élection : Différents candidats se présentent à une élection. Les électeurs ont des préférences quant aux candidats. À partir de ces préférences, on veut classer les candidats.
• championnat de formule 1 : Différentes écuries sont présentes. On dispose de classements par écurie pour chaque grand-prix. À partir de ces classements par grand-prix, on veut un classement définitif.
• choix entre projets d'infrastructure : Différents projets d'infrastructure sont présentés. Ces projets peuvent être classés selon différents critères (prix, durée des travaux et différents critères de qualité). À partir de ces classements par critères, on veut un classement global des différents projets.

On nomme fonction de choix social l'opération de passage des préférences individuelles vers une préférence collective.

Énoncé simplifié

Le théorème d'Arrow est connu sous la forme suivante.

Pour au moins 3 options de choix et deux individus, il n'existe pas de fonction de choix social satisfaisant les propriétés suivantes :

1. Universalité : la fonction de choix social doit être définie pour tout profil de préférences logiquement possible 
2. Non-dictature : aucun individu ne doit pouvoir imposer ses préférences, indépendamment des préférences des autres ;
3. Unanimité : lorsque tous les individus ont les mêmes préférences, la fonction de choix social doit associer ces mêmes préférences à la société.
4. Indifférence des Options Non-Pertinentes : le classement relatif de deux options ne doit dépendre que de leur position relative pour les individus et non du classement d'options tierces ; si l'on ne considère qu'un sous-ensemble d'options, la fonction ne doit pas aboutir à un autre classement de ce sous-ensemble.

Les propriétés d'universalité et d'IONP sont-elles raisonnables? Oui, au sens qu'il serait raisonnable de les accepter. Non, au sens qu'il serait déraisonnable de les exiger : Ces deux propriétés ne sont ni basiques, ni élémentaires.

Principe de la démonstration et interprétation

La démonstration est très technique (voir les liens extérieurs sur la page anglophone) et repose sur plusieurs lemmes que l'on déduit de cas particuliers.

Ce théorème n'est pas un résultat positif : il ne permet pas d'illustration systématique, mais constate que pour de choix non-binaires, il y aura toujours des situations problématiques. Ainsi, une fonction de choix social qui présente les propriétés élémentaires énoncées plus haut sera souvent sensible aux options non-pertinentes. Remarquons néanmoins que nos propres choix sont parfois aussi influencés eux aussi par des options non-pertinentes et que cela n'affecte pas dans le cas général notre efficacité.

relaxation des conditions

Si ce théorème ne gène pas les partisans de régimes dictatoriaux (qui sont prêts à faire confiance à un « homme fort » pour mener raisonnablement le peuple), et à l'opposé gène peu les libéraux (qui récusent l'idée de transformer des préférences individuelles en préférence collective), il est une épine dans le pied des partisans de la démocratie.

Le théorème a suscité en conséquence une abondante réflexion sur les procédures envisageables et les conditions moins fortes qui restent compatibles entre elles.

En travaillant par élimination, on conçoit ne pas pouvoir admettre qu'une procédure de vote puisse

• rester indéfiniment indécise,
• être dictatoriale,
• être non monotone,
• avoir un résultat prédéterminé

Pour ce dernier point, on peut concevoir que le résultat soit partiellement prédéterminé : par exemple, on peut ne pas admettre l'élimination d'un parti politique même si un vote en décidait. On fait alors intervenir des choix d'un niveau différent de celui du choix d'un système de vote : le théorème n'envisage pas le côté moral ou admissible des options; il traite juste de la procédure transformant les options de départ en décision finale. Il reste donc non admissible qu'une procédure de vote puisse exclure a priori des options.

Seule l'indifférente aux options non-pertinentes (IONP) pouvait raisonnablement être affaiblie. Nous ne la pratiquons d'ailleurs en général pas nous-même dans nos choix individuels, faiblesse connue des vendeurs et exploitée par eux (méthodes dite du bait and switch)

Elle revient à dire, dans le cas du choix d'un projet selon plusieurs critères, que proposer un projet nouveau ne doit pas intervenir dans le classement existant des autres projets. Dans le cas d'une élection, elle revient à dire que l'apparition ou le désistement d'un candidat ne doit pas intervenir sur ce que nous pensons des autres. Nous sommes habitués à des systèmes électoraux qui violent cette condition, sans que cela choque trop. L'électeur est parfois poussé à « voter utile », ce qui implique qu'il doit lui-même deviner quelles sont les options pertinentes, et éliminer celles qui ne le sont pas.

En fait, cette condition IONP se traduit par le fait que, seule, l'option finalement retenue est pertinente, l'introduction ou la suppression de toutes les autres étant sans effet sur le résultat final. Cela parait un peu fort.

Il est apparu qu'on pouvait envisager de remplacer cette condition par une condition moins forte : l'indiférence aux options les moins pertinentes (IOMP). On retient comme options pertinentes les membres du plus petit ensemble qui battent, dans les matchs deux à deux, toutes les options hors de l'ensemble (ensemble de Smith). Ainsi et par exemple, Si A bat B, B bat C et C bat A, mais que A, B et C battent toutes les autres options, l'ensemble de Smith est constitué de A, B et C, et représente les options qui ont une chance de l'emporter. Les autres options constituent les options les moins pertinentes.

Avec cette définition plus lâche, certaines méthodes de Condorcet vérifient le critère.

Exemple d'application

système par points cumulés

Dans le cas des courses automobiles, chaque voiture remporte des points à chaque épreuve selon son ordre d'arrivée. Le plus grand total remporte la compétition. Ce dispositif passe d'un classement à un classement ; il est universel, souverain, monotone, mais il n'est pas indifférent aux alternatives non-pertinentes.

Deux écuries (A et B) de deux voitures chacune (A1, A2 et B1, B2) sont à la fin d'une compétition, la dernière course est sur le point de s'achever. Le meneur A1 mène B1 de deux points au classement général, mais il est derrière lui et n'espère plus le rattraper. Loin devant eux, A2 et B2 sont seuls. Les points à l'arrivée sont attribués comme suit :

1^er 10
2^nd 9
3^e 6
4^e 5
...

A1 devrait gagner la compétition, puisque B1 n'aura qu'un point de mieux. Mais, à ce moment-là, le directeur de l'écurie B peut demander à B2 d'abandonner la course : B1 sera alors deuxième à cette course, et à trois points de mieux que A, gagnera la compétition ! S'il fait ça, on peut même imaginer que A2 soit tenté d'abandonner pour permettre à A1 de n'arriver qu'à un point de B1, respectivement en deuxième et première position.

Cette situation montre bien qu'un système par points cumulés n'est pas indifférent aux alternatives non-pertinentes.

appel d'offre pour les marché publics

De même, on peut espérer que les comités d'expertise qui retiennent un projet selon plusieurs critères sont monotones et souverains, indifférents aux options non-pertinentes :

Au besoin, le code des marchés a prévu que les critères de choix doivent être hiérarchisés et non pas seulement pondérés.

Voyez aussi

• Le théorème de Gibbart-Satervaithe,
• Le paradoxe de Condorcet dit aussi paradoxe du vote.