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Le théorème d'incomplétude de Gödel (parfois appelé simplement théorème de Gödel, ou
théorème d'incomplétude) a été formulé par Kurt Gödel en
1931, notamment au travers de son article Über formal unentscheidbare Sätze der
Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sur l'indécidabilité formelle des Principia Mathematica et de systèmes
apparentés). Le théorème d'incomplétude peut être séparé en deux parties :
| Sommaire |
Le théorème ne prétend pas pour autant l'existence d'indécidables « absolus », c'est-à-dire indémontrables dans n'importe quel système formel. En effet, il est toujours possible d'ajouter un axiome à un système formel dans le but de rendre un indécidable démontrable dans le nouveau système.
On pourrait penser « s'échapper » du théorème d'incomplétude en construisant un système formel où chaque indécidable serait « résolu » en ajoutant au système un nouvel axiome, mais le nouveau système ainsi créée comporterait encore des indécidables, et serait donc toujours incomplet.
On peut directement déduire de la seconde partie du théorème que la démonstration de la consistance de l'arithmétique en utilisant uniquement les axiomes de l'arithmétique, sans utiliser par exemple les axiomes de l'infini, comme l'exigeait David Hilbert, est impossible. Mais la consistance de l'arithmétique a tout de même pu être démontrée par Gerhard Gentzen en utilisant une logique plus faible que celle des systèmes auxquels s'applique le théorème de Gödel, et en appliquant cette logique à une structure plus riche que celle des nombres naturels, à savoir les ordinaux inférieurs à ε0.
Les mathématiciens connaissaient déjà un système incomplet avant 1931, celui de la géométrie absolue, c'est-à-dire la géométrie euclidienne sans l'axiome des parallèles. En effet, Il a été démontré en 1868 que cet axiome ne pouvait se déduire des autres axiomes d'Euclide, si bien que l'on ne peut déduire de la géométrie absolue ni l'axiome des parallèles ni son contraire. L'axiome des parallèles est donc un indécidable de la géométrie absolue, qui est incomplète. Ceci a permis l'exploration de deux autres géométries, tout aussi dignes d'intérêt que la géométrie euclidienne :
Le théorème d'incomplétude donne une méthode mécanique pour créer des indécidables, si bien que les logiciens ont pu construire de nombreux indécidables. Mais ces propositions n'intéressent que peu les mathématiciens, car elles sont créées « artificiellement » et ne répondent à aucune interrogation réelle des mathématiciens. Mais depuis l'arrivée de la théorie du calcul, on a pu créer de nouveaux indécidables, touchant par exemple des propriétés élémentaires concernant des produits de matrices.
En 1973, Saharon Shelah montra que le problème de Whitehead était un indécidable de la théorie des ensembles.
Un autre exemple est les équations de Grégory Chaitin, qui ne possède pas moins de 12000 variables, et qui possède soit une infinité de solutions soit un nombre fini. Chaitin a montré que dans n'importe quel système formel on ne peut résoudre qu'un nombre fini de ces équations, les autres étant des indécidables du système en question.
De nos jours une des questions qui se pose est de savoir si le théorème de Fermat-Wiles est un indécidable de l'arithmétique, ayant été prouvé par Andrew Wiles dans la théorie des ensembles.
Le théorème d'incomplétude répond ainsi par la négative au second problème de Hilbert, et met ainsi fin au projet de formalisme de Hilbert.
Il montre également que l'arithmétique ne peut être basé uniquement sur les bases de la logiques, mettant ainsi fin au projet des partisans du logicisme mené par Russell, Frege et Whitehead.
Souvent cité en philosophie, Il faut pourtant faire très attention à son utilisation hors du champ des mathématiques, car l'utilisation du théorème d'incomplétude doit être basé sur un système formel. De plus, comme nous l'avons dit, des indécidables absolus n'existent pas, si bien que toute tentative de démontrer par exemple que l'existence de dieu est indécidable serait vaine.
