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Théorème de Cantor-Bernstein

Le théorème de Cantor-Bernstein est un théorème de mathématiques.

Énoncé

S'il existe une injection d'un ensemble vers un ensemble , et une injection de l'ensemble vers l'ensemble , alors il existe une bijection de dans .

$\left\{\begin{matrix}\exist f \in F^E / f \ injective \\ \exist g \in E^F / g \ injective \end{matrix} \right. \Rightarrow \exist h \in F^E / h \ bijective$

Démonstration

Commençons par montrer que si est une application injective d'un ensemble vers un ensemble avec $B \subset A$ , alors il existe une bijection de dans .

Montrons que :

$\left\{\begin{matrix} u \in B^A / u \ injective \\ B \subset A \end{matrix}\right. \Rightarrow \exist v \in B^A / v \ bijective$

Soit $(C_n)_{n \in \mathbb N}$ la suite définie par :

$\left\{\begin{matrix} C_0 = A - B \\ \forall n \in \mathbb{N}^*, C_n = u( C_{n-1} ) \end{matrix} \right.$

Soit l'entier naturel minimum s'il existe, tel qu'il existe un autre entier naturel vérifiant $C_i \cap C_j \not= \emptyset$ .

$i = min\left\{k \in \mathbb{N} / \left( \exists j \in \mathbb{N} / j>k \ \textrm{et}\ C_k \cap C_j \not= \emptyset \right) \right\}$

Soit alors le plus petit entier naturel vérifiant $C_i \cap C_j \not= \emptyset$ .

Soit un élément de $C_i \cap C_j$ .

Comme $j > i \geq 0$ , alors $j \geq 1$ donc .

Comme $x \in C_j$ alors $x \in B$ et donc $x \not\in C_0$ .

Donc et donc

Or est injective, donc possède un unique antécédant par , nommons le .

est tel que :

$y \in C_{i-1}$

$y \in C_{j-1}$

avec $i-1 \not= j-1$

Donc $i-1 \geq i$ car est minimal, ce qui est absurde.

Il n'existe donc pas de tel minimum, tous les ensembles $(C_n)_{n \in \mathbb N}$ sont donc disjoints.

Soit la réunion de tous les ensembles $(C_n)_{n \in \mathbb N}$ .

$C=\bigcup_{n \in \mathbb N}C_n$

Soit alors $v \in B^A$ l'application de dans défini par :

$\begin{matrix}v: & A & \rightarrow & B & & \\ & x & \mapsto & u(x) & \textrm{si} & x \in C \\ & x & \mapsto & x & \textrm{si} & x \not\in C \end{matrix}$

est bien défini car est à valeur dans , et si $x \not\in C$ alors $x \not\in C_0$ et donc $x \in B$ .

Soient alors et deux éléments de tel que

Supposons que $x \in C$ et $y \not\in C$ .

Alors $v(x) \in C$ (car est stable par ) et $y=v(y) \not\in C$ . Or ce qui est absurde.

Supposons que $x \in C$ et $y \in C$ .

Alors . Comme est injective .

Supposons que $x \not\in C$ et $y \not\in C$ .

Alors

Dans tous les cas , donc est injective.

Soit $y \in B$ . Montrons qu'il existe un $x \in A$ tel que .

Si $y \in C$

Donc il existe $i \in \mathbb{N}^*$ tel que $y \in C_i$ .

Il existe alors $x \in C_{i-1} \subset C$ tel que .

Si $y \not\in C$

Donc

Donc est bijective.

Ce qui démontre la première proposition.

Montrons alors le théorème initial.

Soit l'image de par l'application injective.

avec ( $E' \subset E$ )

L'application $f \circ g$ est une application injective de dans $E' \subset E$ . Donc il existe une application bijective de dans .

$\exist j \in {E'}^{E}\ / j\ bijective$

Comme est une injection, la restriction de a son image pour l'espace d'arrivée est une bijection.

$g^{|E'} : F \rightarrow E' \ bijective$

Donc la composé de et de est une bijection de dans .

Il existe donc une bijection de dans ce qui démontre le théorème de Cantor-Bernstein.

Applications

Si l'on considère la technique naïve qu'a un enfant pour compter le nombre d'éléments d'un ensemble, cela reviens quasiment toujours à associer chaqu'un des élements à un autre d'un ensemble connu dont le nombre d'élements est connu.

Il peut s'agir soit d'associer chacun des éléments à compter avec l'un des doigts, soit d'associer chacun des éléments avec un nombre que l'on réciterait à haute voix (un, deux, trois, etc.), par exemple.

En clair, compter se fait naïvement en effectuant une bijection d'un ensemble dont la « dimension » est connue vers un autre dont la dimension est inconnue.

Ce théorème s'interprète alors comme disant : « Si je peux compter une partie d'un ensemble avec la totalité des éléments d'un autre ensemble, et réciproquement, alors ils ont le même nombre d'élements ». Ce qui est évident pour des ensembles finis. Ce théorème généralise alors cette notion pour des ensembles infinis.

Si je peux compter un certain nombre de billes de mon sac de billes avec mes dix doigts, et qu'avec la totalité de mes billes, je peux les associer avec certains de mes doigts, alors j'ai exactement dix billes.

À partir de là, ce théorème représente l'une des briques de base pour généraliser la notion de tailles d'ensembles à des ensembles infinis.

Catégories: Théorie des ensembles | Théorème

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