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Théorème de Cayley-Hamilton

En algèbre linéaire, le théorème Cayley-Hamilton (qui porte les noms des mathématiciens Arthur Cayley et William Hamilton) affirme que toute matrice carrée à coefficients dans le corps des réels ou des complexes, annule son propre polynôme caractéristique.

Cela signifie que si A est une matrice carrée et si

est son polynôme caractéristique (polynôme d'indéterminée X), alors en remplaçant formellement X par la matrice A dans le polynôme, le résultat est la matrice nulle :

Le théorème de Cayley-Hamilton s'applique aussi à des matrices carrées à coefficients dans un anneau commutatif quelconque.

Un corollaire important du théorème de Cayley-Hamilton affirme que le polynôme minimal d'une matrice donnée est un diviseur de son polynôme caractéristique.

Exemple

Considérons par exemple la matrice

.

Le polynôme caractéristique s'écrit

Le théorème de Cayley-Hamilton affirme que

et cette relation peut être rapidement vérifiée dans ce cas. De plus le théorème de Cayley-Hamilton permet de calculer les puissances d'une matrice plus simplement que par un calcul direct. Reprenons la relation précédente

Ainsi, par exemple, pour calculer A⁴, nous pouvons écrire

et il vient

.