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(en particulier toute écriture de formules mathématiques avec les codes HTML adéquats sera la bienvenue; sans ces formules, il est difficile de parler du théorème)
Dans le chapitre La science est-elle superstitieuse ? de son ouvrage Science et religion, Bertrand Russell énonce le problème - il ose même le mot de scandale - posé par l'induction
Ce paradoxe se trouve décrit en détail dans la section Paradoxe de Hempel, dit de l'ornithologie en chambre.
Cox cherche à poser les desiderata souhaitables pour un robot qui raisonnerait selon une logique inductive :
La convention adoptée, arbitrairement, est que des plausibiliités plus grandes seront représentées par des nombres plus grands.
(à détailler en TEX)
Si une conclusion peut être obtenue par plus d'un moyen, alors tous ces moyens doivent bien donner le même résultat.
Le robot doit toujours prendre en compte la totalité de l'information qui lui est fournie. Il ne doit pas ignorer délibérément une partie d'entre elles et fonder ses conclusions sur le reste. En d'autres termes, le robot doit être totalement non idéologique, neutre de point de vue.
Le robot représente des états de connaissance équivalents par des plausibilités équivalentes. Si deux problèmes sont identiques à un simple étiquetage de propositions près, le robot doit assigner les mêmes plausibilités dans les deux cas.
Alan Turing avait fait remarquer en son temps que l'expression des probabilités était beaucoup plus facile à manier en remplaçant une probabilité p variant de 0 à 1 par l'expression ln (p/(1-p)) variant entre moins l'infini et plus l'infini. En particulier, sous cette forme, un apport d'information par la règle de Bayes se traduit par l'ajout d'une quantité algébrique unique à cette expression (que Turing nommait log-odd), cela quelle que soit la probabilité priori de départ avant l'observation.
I. J. Good reprit cette idée, mais pour faciliter le travail avec ces nouvelles quantités :
Il nomma la mesure correspondante, W = 10 log10 (p/(1-p)), weight of evidence parce qu'elle permettait de « peser » le témoignage des faits en fonction des attentes - manifestées par des probabilités « subjectives » antérieures à l'observation - de façon indépendante de ces attentes.
Les évidences sont parfois exprimées aussi en bits, en particulier dans les tests de validité de lois scalantes. Quand une loi comme la loi de Zipf ou de Mandelbrot s'ajuste en effet mieux aux données qu'une autre loi ne nécessitant pas de tri préalable, il faut en effet tenir compte du fait que ce tri a représenté un apport d'information de l'ordre de N log2N et que c'est peut-être lui seul qui est responsable de ce meilleur ajustement ! Si le gain d'évidence apporté par le tri représente moins de bits que celui qu'a coûté le tri, cela signifie que l'information apportée par la considération d'une loi scalante est en fait nulle.
On remarque que l'algèbre de Boole est isomorphe à la théorie des probabilités réduite aux seules valeurs 0 et 1.
Cette considération conduisit à l'invention dans les années 1970 des calculateurs stochastiques promus par la société Alsthom (qui s'écrivait avec un h à l'époque) et qui entendaient combiner le faible coût des circuits de commutation avec la puissance de traitement des calculateurs analogiques. Quelques-uns furent réalisés à l'époque.
