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Dernier théorème de Fermat

Le dernier théorème de Fermat, ou théorème de Fermat-Wiles, énonce qu'il n'y a pas de nombres entiers positifs non nuls , et tels que

où est un entier strictement supérieur à 2. (Pour les premières valeurs de , il existe une infinité de solutions - le cas est évident, le cas admet notamment la solution classique 4² + 3² = 5² et fait appel à la méthode du cercle).

Le théorème doit son nom à Pierre de Fermat qui écrivit en marge d'une traduction de l'Arithmetica de Diophante, à coté de l'énoncé de ce problème :

J'ai découvert une preuve tout à fait remarquable, mais la marge est trop petite pour l'écrire.

Après avoir été l'objet de fiévreuses recherches pendant plus de 300 ans (cette note laissait penser qu'une démonstration élémentaire était possible - ce qui a donc vivement émoustillé la curiosité des gens), il a finalement été démontré en 1994 par Andrew Wiles. La plupart des mathématiciens pensent aujourd'hui que Fermat s'était trompé : la preuve connue (raffinée depuis) fait appel à des outils très puissants de théorie des nombres.

Plus précisément, Wiles a prouvé la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, dont on savait depuis quelque temps déjà qu'elle impliquait le théorème. La preuve fait appel aux formes modulaires, à des représentations galoisiennes…

Ce théorème n'a aucune application en soi : c'est par les idées qu'il a fallu mettre en œuvre pour le faire tomber, par les outils qui ont été mis en place pour ce faire qu'il prend une telle valeur.

On peut comprendre ce théorème graphiquement en considérant la courbe d'équation  xⁿ + yⁿ = 1 : si n > 2, cette courbe ne passe par aucun point à coordonnées rationnelles non nulles.

Remarque

L'usage voulant qu'on donne à un théorème le nom de celui qui en a apporté la démonstration, l'appellation de « théorème de Fermat » ne se justifie pas à proprement parler. Il faudrait parler soit d'une conjecture de Fermat, soit du théorème de Wiles.