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Théorème de Hahn-Banach

En mathématiques, le théorème de Hahn-Banach est un important outil d'analyse fonctionnelle. Il permet de prolonger une forme linéaire définie sur un sous-espace d'un espace vectoriel à l'espace tout entier. Il montre également qu'il y a suffisamment de formes linéaires continues intéressantes définies sur tout espace vectoriel normé pour rendre l'étude de son dual intéressante. Le nom du théorème provient du nom des deux mathématiciens Hans Hahn et Stefan Banach.

La formulation la plus générale du théorème nécessite une définition liminaire : si V est un espace vectoriel sur un corps K (soit le corps des réels, soit le corps de complexes), on dit qu'une application N de V dans R est sous-linéaire si N(ax + by) ≤ |a| N(x) + |b| N(y) pour tout x et tout y dans V et pour tous scalaires a et b dans K. Toute norme sur V est sous-linéaire, mais il existe d'autres exemples.

Le théorème s'énonce alors de la façon suivante :

Soit N une application sous-linéaire de V dans R, U un sous-espace de V et φ une forme linéaire de U telle que |φ(x)| ≤ N(x) pour tout élément x dans U. Alors il existe une forme linéaire ψ sur V qui prolonge φ (ce qui signifie que ψ(x) = φ(x) pour tout x de U) et qui est dominée par N sur V (ce qui signifie que |ψ(x)| ≤ N(x) pour tout élément x de V).

Le prolongement ψ n'est, en général, pas déterminé de façon unique par la donnée de φ et la démonstration de ce théorème ne donne aucune méthode pour trouver une telle fonction ψ : lorsque la dimension de V est infinie, cette démonstration repose sur le lemme de Zorn.

En fait, la condition de sous-linéarité sur N peut être amoindrie : pour que la conclusion du théorème reste vraie, il suffit que N(ax + by) ≤ |a| N(x) + |b| N(y) pour tous éléments a et b de K vérifiant |a| + |b| = 1 (Reed and Simon, 1980).

Plusieurs conséquences importantes de ce théorèmes sont parfois également appelées théorème de Hahn-Banach, comme c'est le cas des résultats suivants :

• Si V est un espace normé, U un sous-espace de V (pas nécessairement fermé) et φ une forme linéaire sur U, continue, alors il existe un prolongement ψ de φ sur V qui est également continu et linéaire et qui a la même norme que φ

• Si V est un espace normé, U un sous-espace de V (pas nécessairement fermé) et si z est un élément de V qui n'appartient pas à l'adhérence de U, alors il existe une forme linéaire ψ sur V, continue, et qui vérifie les relations suivantes : ψ(x) = 0 pour tout élément x de U, ψ(z) = 1 et ||ψ|| = ||z||^-1.