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Théorème de la bijection

Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle . Alors la fonction réalise une bijection de l'intervalle sur l'intervalle $J=f(I)=\{f(x)/x\in I\}$ .

Autrement dit l'application

$\begin{matrix}g:&I&\rightarrow &f(I)\\&x&\mapsto &f(x)\end{matrix}$

est bijective.

Remarquons que l'application donnée n'est pas forcément bijective.

Dans la pratique, pour appliquer ce théorème, nous devons

vérifier que est continue sur ,
vérifier que est strictement monotone,
déterminer l'intervalle qui est de même type que l'intervalle (ouvert, fermé ou semi-ouvert), dont les bornes sont les limites de aux bornes de , ou les valeurs que prend aux bornes.

Conséquence

- Tout élément de possède un unique antécédent par dans .

Formulations équivalentes à cette conséquence du théorème :
- pour tout élément de , il existe un unique de tel que
- pour tout élément de , l'équation admet une unique solution dans .

Pour démontrer l'existence de solutions d'une équation de la forme , le Théorème des valeurs intermédiaires est plus approprié.

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