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Théorème de Liouville

Le théorème de Liouville (d'après le mathématicien Joseph Liouville) est un résultat fondamental en analyse complexe.

Il affirme que toute fonction entière (fonction holomorphe f définie dans tout le plan complexe ) qui est bornée (i.e. il existe un nombre réel M tel que pour tout nombre complexe z, on ait |f(z)| ≤ M) doit être constante.

Le théorème peut être démontré en utilisant la formule intégrale de Cauchy pour montrer que la dérivée complexe de f est identiquement nulle ().

Le théorème est considérablement amélioré par le petit théorème de Picard, qui dit que toute fonction entière qui n'atteint pas au moins deux nombres complexes est constante.

En terme de surface de Riemann, le théorème peut être généralisé de la manière suivante: si M est une surface de Riemann parabolique (le plan complexe par exemple) et si N est une surface hyperbolique (un disque ouvert par exemple), alors toute fonction holomorphe f : M → N doit être constante.

Utilisations

• Le théorème de Liouville peut être utilisé pour donner une démonstration courte et élégante du théorème fondamental de l'algèbre.
• Ce théorème est un résultat fondamental en physique statistique, où il permet de dire que la fonction de distribution d'un sous-système est constante le long des trajectoires de phases.