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Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce une relation entre les côtés d'un triangle rectangle, c'est-à-dire d'un triangle qui possède un angle droit.

Sommaire

1 Énoncé

2 Démonstration

3 Cas particuliers

4 Théorème de Pythagore dans un espace préhilbertien

5 Variations sur le théorème

6 Autres usages

7 Espace physique

8 Voir aussi

8.1 Articles connexes
8.2 Liens externes

Énoncé

Explication géométrique du théorème

Sachant que l'hypoténuse est le plus grand côté à l'opposé de l'angle droit, le théorème de Pythagore affirme que :

Si un triangle est rectangle, alors la somme des aires des carrés formés par les côtés qui constituent l'angle droit est égale à l'aire du carré formé par son hypoténuse.

Comme l'aire d'un carré est le carré de la longueur d'un côté, nous pouvons aussi formuler le théorème ainsi, si AB = c, AC = b et CB = a :

Si le triangle ABC est rectangle en C alors $AB^2=AC^2+CB^2\,\!$ .

Ce résultat était déjà connu des Babyloniens sous sa forme numérique, 1 000 ans avant Pythagore — philosophe et mathématicien Grec du VI^e siècle avant notre ère — dont on pense qu'il connaissait aussi ce théorème. Euclide fut le premier à le démontrer dans le premier livre de ses Éléments, proposition 46.

En faisant intervenir le concept de vecteur, on peut reformuler le théorème comme suit :

Étant donnés deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , $\Vert\vec{u}+\vec{v}\Vert^2 = \Vert\vec{u}\Vert^2 + \Vert\vec{v}\Vert^2$ si et seulement si $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux.

De manière générale, si les vecteurs ne sont pas orthogonaux, on a simplement l'inégalité triangulaire :

$||\vec{u} + \vec{v}||^2 \le ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 + 2||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||$

que l'on écrit en général

$||\vec{u} + \vec{v}|| \le ||\vec{u}|| + ||\vec{v}||.$

Démonstration

C'est sans doute le théorème qui possède le plus grand nombre de preuves connues (la loi de réciprocité quadratique se distingue aussi dans ce domaine). En voici une :

Considérons un triangle rectangle et a, b et c ses côtés comme ici. Ensuite recopions ce triangle et plaçons-le de manière à avoir le côté a aligné au côté b du premier triangle et pour que leurs côtés c forment un angle droit (c'est possible car la somme des angles d'un triangle quelconque est égale à deux angles droits). Puis, plaçons le côté a d'un troisième triangle aligné avec le côté b du second, afin que les côtés c forment un angle droit. Enfin, complétons un carré de côté (a + b) en plaçant le côté a d'un quatrième triangle aligné avec le côté b du troisième triangle. On peut dire deux choses de ce carré : primo, l'aire du carré est (a + b)² car (a + b) est la longueur d'un de ces côtés, secundo, le carré est constitué de quatre triangles d'aires ab/2 égales, ainsi que d'un carré au milieu, de côté c. Donc, le total du carré peut aussi être noté 4 · ab/2 + c². On peut considérer que ces deux expressions sont égales et simplifier :

$(a+b)^2=4 \cdot \frac{ab}{2} + c^2 \iff a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \iff a^2 + b^2 = c^2$

CQFD

Il faut noter que cette démonstration ne fonctionne pas dans une géométrie non euclidienne, car sur une sphère la somme des angles d'un triangle ne vaut pas 180 degrés, et ce carré ne peut être formé (voir les liens externes ci-dessous pour une présentation de différentes preuves du théorème de Pythagore).

Il existe de nombreuses autres démonstrations du théorème de Pythagore ; le président des États-Unis d'Amérique, James Garfield en développa une lui-même. L'une des plus intéressantes est la preuve calculatoire basée sur la formule d'Euler (établissant l'identité de Pythagore).

Cas particuliers

Le cas le plus simple est :

3² + 4² = 5²

Cette « règle de 3-4-5 » vous permet de construire un angle droit, par exemple dans la campagne avec une simple corde.

Voir triplet pythagoricien.

Théorème de Pythagore dans un espace préhilbertien

Le théorème de Pythagore découle en fait directement de la définition du produit scalaire, et se généralise à tout espace préhilbertien. Dans ce cadre général, il affirme que si et sont deux vecteurs orthogonaux, alors $\left\Vert u\right\Vert^2 + \left\Vert v\right\Vert^2 = \left\Vert u+v\right\Vert^2$ . La réciproque est vraie dans le cas réel.

Variations sur le théorème

La contraposée du théorème affirme ceci :

Si les longueurs des côtés d'un triangle ABC vérifient $AB^2 \ne AC^2+CB^2\,\!$ , alors le triangle n'est pas rectangle en C.

Notons que la contraposée est logiquement équivalente au théorème direct, elle n'a en revanche pas le même usage en démonstration puisque le théorème sert à calculer le troisième côté manquant d'un triangle rectangle alors que la contraposée sert à démontrer qu'un triangle dont on connaît les longueurs des trois côtés n'est pas rectangle.

La réciproque du théorème de Pythagore (la proposition 47 du premier livre des Éléments d'Euclide) est également vraie :

Si le carré du côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle (l'hypoténuse étant le premier côté cité).

Autre formulation :

Si les longueurs des côtés d'un triangle ABC vérifient $AB^2=AC^2+CB^2\,\!$ alors le triangle est rectangle en C.

Ceci peut être prouvé en utilisant la loi des cosinus (ou théorème d'Al-Kashi, déjà connu d'Euclide dans ses Éléments : les propositions 12 et 13 du livre II) qui est une généralisation du théorème de Pythagore appliquée à tous les triangles (euclidiens).

Enfin, la contraposée de la réciproque du théorème de Pythagore stipule ceci :

Si le triangle ABC n'est pas rectangle en C alors $AB^2 \ne AC^2+CB^2\,\!$

Autres usages

Une autre généralisation du théorème de Pythagore fut déjà énoncée par Euclide dans ses Éléments (Proposition 31 du livre VI) :

Dans les triangles rectangles, la figure construite sur le côté qui sous-tend l'angle droit, est égale aux figures semblables et semblablement décrites sur les côtés qui comprennent l'angle droit.

Autrement dit :

Si on érige des figures semblables (voir géométrie) sur les côtés d'un triangle droit, alors la somme des aires des deux plus petites figures égale l'aire de la plus grande.

En coordonnées cartésiennes, le théorème de Pythagore permet d'exprimer la distance entre deux points du plan : ainsi, si et sont des points du plan euclidien, la distance les séparant est donnée par :

$\sqrt{(x_b-x_a)^2 + (y_b-y_a)^2}.$

Plus généralement, dans un espace euclidien (ou dans un espace affine euclidien) de dimension finie, la distance de $(x_1, \dots, x_k)$ à $(y_1,\dots, y_n)$ s'écrit

$\sqrt{\sum_{k=1}^{k=n}{(x_k-y_k)^2}}.$

L'identité de Parseval peut être vue comme une généralisation du théorème de Pythagore aux familles infinies de vecteurs d'un espace préhilbertien.

Le théorème de Pythagore se généralise aussi dans les simplexes de plus haute dimension. Si un tétraèdre possède un coin formé d'angle droit (un coin de cube), alors le carré de l'aire de la face opposée au coin est la somme des carrés des aires des trois autres faces. Ce théorème est aussi connu sous le nom de théorème de Gua.

Espace physique

Comme le théorème de Pythagore est dérivé d'axiomes de la géométrie euclidienne, et que les espaces physiques ne sont pas toujours euclidiens, il ne doit pas être valide pour les triangles dans les espaces physiques. L'un des premiers mathématiciens à réaliser ceci fut Carl Friedrich Gauss, qui mesura donc attentivement de grands triangles rectangles dans le cadre de son étude géographique afin de vérifier ce théorème. Il ne trouva aucun contre-exemple avec sa précision de mesure. La théorie de la relativité générale soutient que la matière et l'énergie conduisent l'espace à être non-euclidien et le théorème ne s'applique donc pas strictement en présence d'énergie. Cependant, la déviation par rapport à l'espace euclidien est faible sauf près d'imposantes sources gravitationnelles comme les trous noirs. Déterminer si le théorème est enfreint sur d'importantes échelles cosmologiques, c'est-à-dire mesurer la courbure de l'Univers, est un problème ouvert pour la cosmologie.

Voir aussi

Liens externes

43 démonstrations différentes (en anglais)
animation Flash
La preuve d'Euclide (en anglais)

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