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Théorème de Thalès

Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie, attribué selon la légende au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet; en fait Thalès aurait démontré des théorèmes bien plus basiques. Il donne des relations entre les rapports de distances dans un triangle coupé par deux droites parallèles. La première démonstration de ce théorème est à attribuée à Euclide qui la présente dans ses Éléments (proposition 2 du livre VI) : il le démontre par proportionnalité d'aires de triangles de hauteur égale. La preuve de ce théorème est triviale quand on dispose du calcul vectoriel.

Le Théorème de Thalès sert notamment à calculer des longueurs dans un triangle, à condition d'avoir deux droites parallèles.

Selon la légende, une application a été de calculer la hauteur des pyramides d'Égypte en mesurant la longueur de l'ombre au sol de chaque pyramide, et la longueur de l'ombre d'un baton de hauteur donnée.

Énoncés

Trois droites parallèles déterminent sur deux sécantes (quelconques) des segments homologues proportionnels.

Autrement :

Si trois droites parallèles rencontrent deux droites (d) et (d'), respectivement et dans cet ordre, en A, B, C et A', B', C', alors :

Configuration particulière

La configuration particulière dans laquelle les points A et A' sont confondus (deux triangles partageant un même angle) est enseignée en France en classe de troisième.

Cette configuration possède des propriétés en plus. En effet, dans ce cas (et dans ce cas seulement) le rapport de longueurs BB'/CC' égale les rapports de longueurs ci-dessus.

Application

Lorsque nous sommes dans une situation telle que nous ayons :

• Deux droites sécantes en un même point;
• Deux points alignés sur chacune des deux droites;
• Deux droites parallèles passant par ces points.

Nous pouvons donc appliquer le théorème de Thalès qui dit que le rapport de la plus petite mesure sur la plus grande pour chacun des deux segments des 2 droites sécantes, et le rapport de la plus petite mesure sur la plus grande pour les segments qui représentent les droites parallèles sont égaux.

Nous comprendrons mieux avec des dessins :

Dans les trois cas, les droites (DE) et (BC) sont parallèles ((DE)⫽(BC))

L'utilisation de ce théorème est plutôt visible et directe : le nombre de conditions nécéssaires à son application sont faible (mais pas négligeable) et on pourra l'utiliser souvent.
Il permettra par exemple de calculer la longueur de certains segment manquant.

En effet, chaque segment peut se déduire de la mesure de trois autres. Ainsi par exemple :

et

Démonstrations

Par les aires

La démonstration de ce théorème à été donnée par Euclide dans le livreVI de ses Éléments, proposition 2.
La voici retouchée en notations et vocabulaire moderne, les passages dans le style euclidiens bénéficierons d’un alinéa.

Les triangles ADE et CDE sont entre eux comme leurs bases AE et EC sont entre elles.

Les aires des triangles ADE et CDE sont respectivement ½AE×h’ et ½CE×h’, en effet, ils ont la même hauteur h’.

Les triangles CDE et BDE sont égaux

Les triangles CDE et BDE ont la même aire, soit ½BC×h.

De même ADE est à BDE comme leurs bases AD et DB sont entre elles.

La troisième hauteur n’est pas dessinée, mais c’est la même chose qu’au début de la preuve.

Récapitulons dans un tableau de proportionnalités :

AE est à CE comme ADE est à CDE.
Or CDE=BDE donc ADE est à CDE comme ADE est à BDE.
Enfin ADE est à BDE comme AD est à BD.
Donc on obtient une chaîne d’égalités de rapports, on a donc l’égalité des rapports extrêmes, soit AE est à CE comme AD est à BD.

Soit

Par le calcul vectoriel

Théorème réciproque

à compléter

Voir aussi

• Théorème des milieux