Page d'accueil	encyclopedie-enligne.com en page d'accueil
Liste Articles: [0-A] [A-C] [C-F] [F-J] [J-M] [M-P] [P-S] [S-Z] \| Liste Catégories \| Une page au hasard \| Pages liées

Théorème de Wilson

Énoncé

Soit un entier strictement supérieur à 1.

Le théorème de Wilson dit que :

est un nombre premier, si et seulement si :

$(p-1)! \equiv -1 \mod p$

Démonstration

La factorielle est le produit de tous les inversibles modulo ; donc si on pouvait les grouper par paires d'inverses, on obtiendrait .

L'obstacle à ce regroupement est que certains éléments sont leur propre inverse! Ces éléments vérifient ; or ce sont exactement et .

Donc dans le produit, on peut regrouper par paires qui se simplifient la plupart des facteurs, sauf $\pm1$ , qui restent et dont le produit est .

Réciproquement, soit n un entier tel que $(n-1)!\equiv -1\ (n)$ . Dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , $\overline{1}\times \overline{2}\times \ldots \times \overline{n-1}=\overline{-1}$ est inversible, car $\overline{-1}$ l'est puisque $(\overline{-1})(\overline{-1})=\overline{1}$ .

Donc il existe $k\in\mathbb{Z}$ , tel que $\overline{1}\times \overline{2}\times\ldots \times\overline{n-1}\times\overline{k}=\overline{1}$ . On en déduit que chaque facteur $\overline{1}, \overline{2}, \ldots, \overline{n-1}$ est inversible dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ donc n est premier avec tous les entiers 1, 2, ..., n-1 donc est premier. On peut aussi dire que $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un corps et donc n est premier.CQFD.

Catégories: Théorème | Théorie des nombres

This site support the Wikimedia Foundation. This Article originally from Wikipedia. All text is available under the terms of the