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Théorème des accroissements finis

Le théorème des accroissements finis est un corollaire du théorème de Rolle.

Théorème de Rolle :

Soit f: I → R une fonction à valeurs réelles. Soient a et b deux éléments appartenant à I. Si :
• f est continue sur l'intervalle fermé [a,b]
• f est dérivable sur l'intervalle ouvert ]a,b[
• f(a) = f(b)

Alors ∃ c ∈ ]a,b[, f'(c) = 0 (c'est-à-dire il existe au moins un point qui admette une tangente horizontale).

Théorème des accroissements finis :

Soit f: I → R une fonction à valeurs réelles. Soient a et b deux éléments appartenant à I. Si :
• f est continue sur l'intervalle fermé [a,b]
• f est dérivable sur l'intervalle ouvert ]a,b[

Alors ∃ c ∈ ]a,b[, (b-a).f'(c) = f(b)-f(a)

Pour le profane, on peut illustrer ainsi le théorème : « Si un véhicule parcourt 120 km en 2 h, son compteur a indiqué au moins une fois la vitesse précise de 60 km/h. »