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Théorème des milieux (mathématiques élémentaires)

Le théorème des milieux est un cas particulier de la réciproque du théorème de Thalès.

Théorème direct

Énoncé

Il énonce que :

Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle alors elle est parallèle au troisième côté.

Autres formulations

Ce théorème peut se présenter graphiquement de la manière suivante :

Ou autrement en français :

Une droite passant par les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté.

Preuve

Sur la figure, (IJ) est la droite des milieux dans ABC qu’on veut prouver parallèle à (BC).
Traçons K le symétrique de J par rapport à I, on a alors I milieu de [JK]. Comme I est aussi le milieu de [AB], AJBK est un parallélogramme de centre I.

Or si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés sont parallèles et de même longueur.

Donc AJ=KB et (AJ)⫽(KB), donc [JC] et [KB] sont parallèles et de même longueur (et KBCJ n’est pas croisé par lecture sur la figure).

Or si un quadrilatère non-croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors il est un parallélègramme.

Donc KBJC est un parallélogramme. Or par définition du parallélogramme :

Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles.

Donc (KJ)⫽(BC), soit (IJ)⫽(BC). CQFD.

Théorème réciproque

Sa réciproque s’énonce ainsi :

Si une droite parallèle à un côté d’un triangle passe par le milieu d’un autre côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.

Soit graphiquement :