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Théorème des résidus

Le théorème des résidus en analyse complexe est un puissant outil pour évaluer des intégrales curvilignes de fonctions méromorphes sur des courbes fermées et peut aussi bien être utilisé pour calculer des intégrales de fonctions réelles. Il généralise le théorème intégral de Cauchy et la formule intégrale de Cauchy.

La proposition est la suivante. Supposons que U soit un sous-ensemble ouvert simplement connexe du plan complexe , a₁,...,a_n un nombre fini de points distincts de U et f est une fonction qui est définie et holomorphe sur U \ {a₁,...,a_n}. Si γ est une courbe rectifiable dans U qui ne rencontre aucun des points a_k et dont le point de départ est égal au point d'arrivée (c'est-à-dire un lacet rectifiable), alors

Ici, Res(f,a_k) désigne le résidu de f en a_k, et n(γ,a_k) est le nombre de tour de la courbe γ autour du point a_k. Ce nombre de tour est un entier qui intuitivement mesure combien de fois la courbe γ s'enroule autour du point a_k; il est positif si γ est parcourue dans le sens inverse des aiguilles d'une montre autour de a_k nul 0 si γ ne se déplace pas du tout autour de a_k.

Pour évaluer des intégrales réelles, le théorème des résidus s'utilise de la façon suivante: l'intégrande est étendue au plan complexe et ses résidus sont calculés (ce qui est d'habitude facile), et une partie de l'axe réel est étendue à une courbe fermée en lui attachant un demi-cercle dans le demi-plan supérieur ou inférieur. L'intégrale suivant cette courbe peut alors être calculée en utilisant le théorème des résidus. Souvent, la partie de l'intégrale sur le demi-cercle tend vers zéro, quand le rayon de ce dernier tend vers l'infini, laissant seulement la partie de l'intégrale sur l'axe réel, celle qui initialement nous intéressait.