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Théorème fondamental de l'analyse

Le théorème fondamental de l'analyse (ou théorème fondamental du calcul différentiel et intégral) déclare que les deux opérations de base de l'analyse, la dérivation et l'intégration, sont réciproques l'une de l'autre.

Ceci signifie que si une fonction est d'abord intégrée et ensuite dérivée, alors la fonction initiale est retrouvée.

Une conséquence importante de ce théorème, appelée parfois le deuxième théorème fondamental du calcul différentiel et intégral est de permettre de calculer une intégrale en utilisant une primitive de la fonction à intégrer.

Explication intuitive

Intuitivement, le théorème dit simplement que si vous connaissez tous les petits changements instantanés d'une certaine quantité, alors vous pouvez calculer le changement général de cette quantité en additionnant tous les petits changements.

Pour se donner une idée de cette affirmation, commençons par donner un exemple. Supposez que vous voyagiez sur une ligne droite, et que vous partiez à l'instant t = 0, et avec une vitesse variable. Si $t\mapsto d(t)$ indique votre distance à l'origine et $t\mapsto v(t)$ représente votre vitesse à l'instant t, alors v(t) est le taux d'accroissement « infinitésimal » de d et est la valeur de la dérivée de d en t. Supposez que vous n'ayez qu'un compteur de vitesse qui indique la vitesse v(t), et que vous vouliez retrouver votre distance d(t). Le théorème fondamental de l'analyse dit que vous devez primitiver v afin d'obtenir d. Et ceci est exactement ce que vous auriez fait, même sans connaître ce théorème: enregistrer la vitesse à des intervalles réguliers, peut-être toutes les minutes, et alors multiplier la première vitesse par 1 minute pour obtenir une estimation de la distance parcourue dans la première minute, puis multiplier la deuxième vitesse par 1 minute pour obtenir la distance parcourue dans la deuxième minute etc., et enfin ajouter toutes les distances précédentes. Pour obtenir une même meilleure estimation de votre distance actuelle, vous avez besoin d'enregistrer les vitesses à des intervalles de temps plus courts. La limite quand la longueur des intervalles tend vers zéro est exactement la définition de l'intégrale de v.

Écriture formelle du théorème

Formellement, le théorème affirme que si la fonction f est continue sur un segment [a, b], alors la fonction F définie sur [a, b] par:

$F:x\mapsto \int_a^x f (t) dt$

est dérivable sur l'intervalle et sa dérivée est égale à f. Ici, t est une variable muette qui est seulement utilisée dans le but de l'opération d'intégration.

La partie II du théorème donne une méthode importante pour calculer l'intégrale de la fonction continue f: si est une primitive quelconque de la fonction f (i.e. si F vérifie $\forall x\in [a,b], F'(x) = f(x)$ ), alors

$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$

Comme exemple, supposons que nous ayons à calculer

$\int_2^5 x^2 dx$

Ainsi, et nous pouvons utiliser F définie par comme primitive. On a:

$\int_2^5 x^2 dx = F(5) - F(2) = {125 \over 3} - {8 \over 3} = {117 \over 3} = 39$

Généralisations

Nous n'avons pas besoin de supposer la continuité de f sur tout l'intervalle. La partie I du théorème s'écrit alors: si f est une fonction intégrable au sens de Lebesgue sur et si est un réel de tel que soit continue en , alors F définie sur par,

$F(x) = \int_a^x f(t) dt$

est dérivable en et .

La partie II du théorème est vraie pour n'importe quelle fonction f intégrable au sens de Lebesgue qui admet une primitive F. (toutes les fonctions intégrables n'en admettent pas).

La formule de Taylor avec reste intégral qui exprime le terme d'erreur comme une intégrale peut être vue comme une généralisation du Théorème fondamental.

Il existe une version du théorème pour les fonctions de la variable complexe:

supposons que U soit une partie ouverte de $\mathbb C$ et que $f:U\rightarrow \mathbb C$ admette une primitive F qui soit une fonction holomorphe sur U. Alors pour toute courbe γ : [a, b] → U, l'intégrale sur cette courbe peut être obtenue par :

∫	f(z)dz = F(γ(b)) - F(γ(a))
γ

Le théorème fondamental peut être généralisé à des intégrales sur des contours ou sur des surfaces dans des dimensions supérieures et sur des espaces vectoriels. (Voir le théorème de Stokes).

Catégories: Analyse | Théorème

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