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En mathématiques, et en particulier en théorie des nombres, le théorème fondamental de
l'arithmétique ou théorème de décomposition en produit de facteurs premiers ou théorème de
factorisation unique est le fait que chaque entier positif peut
être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon.
Par exemple, nous pouvons écrire
et il n'existe aucune autre factorisation de 6936 ou 1200 sous forme de produits de nombres premiers, excepté par réarrangement des facteurs ci-dessus.
Pour faire en sorte que le théorème marche aussi pour le nombre 1, nous admettrons que 1 est le produit de zéro nombre premier (voir produit vide).
Le théorème établit l'importance des nombres premiers. Essentiellement, ils sont les « briques élémentaires de construction » des entiers positifs, chaque entier positif contient des nombres premiers d'une manière unique.
En connaissant la factorisation par nombre premier d'un nombre donne une connaissance complète de tous les facteurs de ce nombre. Par exemple, la factorisation précédente de 6936 nous indique que les facteurs positifs de 6936 sont de la forme
avec [0 ≤ a ≤ 3], [0 ≤ b ≤ 1], et [0 ≤ c ≤ 2]. Ceci forme un total de 4 · 2 · 3 = 24 facteurs positifs.
Une fois que les factorisations premières de deux nombres sont connues, leur PGCD et leur PPCM peuvent être trouvés rapidement. Par exemple, comme ci-dessus, nous pouvons voir que le Plus Grand Commun Diviseur de 6936 et 1200 est 23 · 3 = 24. Néanmoins, si les factorisations premières ne sont pas connues, l'utilisation de l'algorithme d'Euclide requiert généralement beaucoup moins de calculs que la factorisation de deux nombres.
Le théorème fondamental assure que les fonctions arithmétiques additive et multiplicative sont complètement déterminée par les valeurs prises par les puissances des nombres premiers présents dans la factorisation
La démonstration est constituée de deux parties : premièrement, nous avons à montrer que chaque nombre peut vraiment être écrit comme un produit de nombres entiers ; puis nous avons à montrer que deux représentations d'un même nombre sont essentiellement les mêmes.
Supposons qu'il existe un entier positif qui ne peut pas être écrit comme un produit de nombres premiers. Alors il doit exister un plus petit d'un tel nombre : appelons le n. Ce nombre n ne peut pas être 1, en raison de notre convention ci-dessus. Il ne pas être non plus un nombre premier, car tout nombre premier est le produit de d'un seul nombre premier, lui-même. Donc n = ab où a et b sont, à la fois, des entiers positifs plus petit que n. Mais, comme n était le plus petit nombre pour lequel le théorème tombe en défaut, a et b peuvent, tous les deux, être écrit comme des produits de nombres premiers. Mais alors n = ab peut être écrit comme un produit de nombres premiers, ce qui aboutit à une contradiction.
En ce qui concerne l'unicité de la preuve, ceci tourne autour du fait suivant : si un nombre premier p divise un produit ab, alors il divise a ou il divise b (preuve : si p ne divise pas a, alors p et a sont premiers entre eux et l'identité de Bézout donne les entiers x et y de telle manière que px + ay = 1. En multipliant par b, nous obtenons pbx + aby = b. Les deux parties de la somme du membre de gauche sont divisibles par p, donc le membre de droite est aussi divisible par p.) Maintenant, prenons deux produits de nombres premiers qui sont égaux. Prenons n'importe quel nombre premier p du premier produit. il divise le premier produit, et, de là, aussi le second. Par ce qui précède, p doit alors diviser au moins un facteur dans le second produit. Mais les facteurs sont tous des nombres premiers eux-mêmes, donc p doit être égal à un des facteurs du second produit. De plus, nous pouvons donc annuler p des deux produits. En continuant de cette manière, nous verrions éventuellement que les facteurs premiers des deux produits coïncident précisément.
Une autre démonstration de l'unicité de la factorisation première d'un entier donné utilise la descente infinie : en supposant qu'un certain entier peut être écrit comme (au moins) deux produits différents de nombres premiers, alors il doit exister un plus petit entier s avec ce genre de propriété. Appelons les deux produits de s p1*...*pm et q1*...*qn. Aucun pi (avec 1≤i≤m) ne peut être égal à n'importe quel qj (avec 1≤j≤n), comme il existerait néanmoins un entier plus petit factorisable de deux manières (en enlevant les facteurs premiers communs des deux produits) qui violerait notre affirmation. Nous pouvons maintenant assurer sans perte de généralité que p1 est un facteur premier plus petit que n'importe quel qj (avec 1≤j≤n). Prenons q1. Alors il existe des entiers d et r comme ceci q1/p1 = d+r/p1 et 0<r<p1<q1 (r ne peut pas être 0, qui rendrait q1 multiple de p1 et non premier). Nous obtenons maintenant p2*...*pm = (d+r/p1)*q2*...*qn = d*q2*...*qn+r*q2*...*qn/p1. Le second terme dans la dernière expression doit être égal à un entier que nous appelerons k, c.a.d. k=r*q2*...*qn/p1. Ceci nous donne p1*k=r*q2*...*qn. La valeur des deux cotés de cette équation est évidemment plus petit que s, mais est encore assez grand pour être factorisable. Comme r est plus petit que p1, les deux factorisations premières que nous obtenons de chaque coté après k et r sont écrite comme leur produit de nombres premiers, qui doivent être différents. Ceci est en contradiction avec s qui doit être le plus petit entier factorisable de plus d'une manière. Donc, l'affirmation de départ doit être fausse.
