Page d'accueil	encyclopedie-enligne.com en page d'accueil
Liste Articles: [0-A] [A-C] [C-F] [F-J] [J-M] [M-P] [P-S] [S-Z] | Liste Catégories | Une page au hasard | Pages liées

Nombre transcendant

Un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n'est racine d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers. Un nombre réel ou complexe est donc transcendant si et seulement s’il n'est pas algébrique.

L'existence de nombres transcendants se démontre facilement par un argument de cardinalité (comptage) : il y a une infinité non-dénombrable de nombres réels (ou complexes), et seulement une infinité dénombrable de nombres algébriques, donc certains nombres réels ne sont pas algébriques.

Les premiers nombres bien définis dont on a pu montrer la transcendance sont les nombres de Liouville, démontrés transcendants par Joseph Liouville en 1844. Un exemple de nombre de Liouville est:

On peut obtenir facilement des nombres transcendants grâce au théorème de Gelfond-Schneider : Si a est un nombre algébrique non nul et différent de 1 et si b est un nombre algébrique irrationnel, alors le nombre a^b est transcendant. On peut par exemple déduire de ce théorème la transcendance de e^π et 2^√2. Ou si a est un nombre algébrique non nul alors est transcendant.

Exemples

• Le nombre π
• Le nombre e (base des logarithmes néperiens)
• Le nombre de Champernowne 0,12345678910111213... obtenu en écrivant à la suite les nombres entiers en base dix (théorème de Mahler, 1961)
• L'un au moins des deux nombres e+π et eπ est transcendant