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Transformation de Lorentz

Les transformations de Galilée conservent le produit scalaire : : $\vec{A}\cdot\vec{B}=\vec{A}'\cdot\vec{B}'$

Dans l'espace-temps de Minkowski, de tenseur métrique :

$\eta_{\alpha\beta}=\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}\right]$

Ce qui veut dire que l'on doit différencier les coordonnées covariantes, des coordonnées contravariantes. On définit la pseudo-norme : :

Les transformations de Lorentz doivent conserver la pseudo-norme : :

Les transformations de Lorentz doivent être linéaire à coefficients constants. Dans toute la suite, les indices primés correspondent aux coordonnées dans le référentiel $\mathbb{R'}$ , de plus les répétitions de lettres grecques voudront dire sommation de 0 à 4, et les répétitions de lettres latines de 1 à 3.

$\left\{\begin{matrix} \eta_{\alpha\beta}x^{\alpha}x^{\beta}=\sum_{\alpha=0}^{3}\sum_{\beta=0}^{3}\eta_{\alpha\beta}x^{\alpha}x^{\beta}\\ \delta_{ij}x^{i}x^{j}=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\eta_{ij}x^{i}x^{j} \end{matrix}\right.$

Les transformations s'écrivent sous la forme matricielle :

$\left\{\begin{matrix} x^{\mu'}\rightarrow x^\mu=L_{\nu'}^{\mu}x^{\nu'}\\ y_{\mu'}\rightarrow y_\mu=L_{\mu}^{\nu'}y_{\nu'} \end{matrix}\right.$

Les pseudo-produits scalaires sont invariants pas transformations de Lorentz : $x^{\mu}y_{\mu}=x^{\mu'}y_{\mu'}=y_{\lambda'}L_{\rho'}^{\mu}L_{\mu}^{\lambda'}x^{\rho'}$ soit donc : $L_{\rho'}^{\mu}L_{\mu}^{\lambda'}=\delta_{\rho'}^{\lambda'}$ où $\delta_{\rho'}^{\lambda'}$ est le symbole de Kronecker. L'inverse de la matrice $L_{\mu}^{\nu'}$ est sa transposée : $L_{\nu'}^{\mu}$ La transformation du tenseur métrique se retrouve en ayant à l'esprit l'invariance du pseudo-produit scalaire :

$\eta_{\mu'\nu'}=\eta_{\lambda\rho}L_{\mu'}^{\lambda}L_{\nu'}^{\rho}$

On en déduit que donc ou dans la suite, on se placera dans le cas où le déterminant est positif, et $L_{0'}^{0}>0$ appelé groupe propre orthochrone de Lorentz. Les transformations s'écrivent alors :

$\left\{\begin{matrix} dx^{0}=L_{0'}^{0}dx^{0'}+L_{k'}^{0}dx^{k'}\\ dx^{i}=L_{0'}^{i}dx^{0'}+L_{k'}^{i}dx^{k'} \end{matrix}\right.$

On considère un corps au repos dans le repère $\mathbb{R'}$ , alors , d'où :

$\frac{dx^i}{dx^0}=\frac{L_{0'}^{i}}{L_{0'}^{0}}$

soit :

$\begin{matrix}\left\{\begin{matrix} L_{0'}^{i}=\beta^{i}L_{0'}^{0}\\ L_{0}^{i'}=L_0^{0'}\beta^{i'} \end{matrix}\right.&(1)\end{matrix}$

Ensuite il y a ces relations à démontrer :

$\left\{\begin{matrix} L_{0'}^{i}=-L_{i}^{0'}&L_{i'}^{0}=-L_{0}^{i'}&L_{i'}^{k}=-L_{k}^{i'}&(2)\\ L_{i}^{0'}=L_0^{0'}\beta_{i}&L_{0}^{i'}=L_{0'}^{0}\beta_{i'}&&(3)\\ L_{0'}^{0}\beta^i=-L_{k'}^{i}\beta^{k'}&L_{0}^{0'}\beta^{i'}=-L_{i'}^{k}\beta^{k}&&(4)\\ L_{0'}^{0}=\pm\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}&L_{0}^{0'}=\pm\frac{1}{\sqrt{1-\beta'^2}}&&(5)\\ detL_{k'}^{i}=L_{0'}^{0}&detL_{k}^{i'}=L_{0}^{0'}&&(6)\\ \beta^2=\beta'^2 \leftrightarrow L_{0'}^{0}=L_{0}^{0'}=\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}&&&(7) \end{matrix}\right.$

Pour les expressions (2), il suffit d'utiliser la relation : $L_{\mu'}^{\nu}=\eta^{\alpha\nu}\eta_{\beta'\mu'}L_{\alpha}^{\beta'}$ avec et \mu'=\nu'=0'</math> soit :

$L_{0'}^{i}=\eta^{\alpha i}\eta_{\beta' 0'}L_{\alpha}^{\beta'}=\eta^{ii}\eta_{0'0'}L_{i}^{0'}=-L_{i}^{0'}$

Pour les expressions (3) :

$L_{i}^{0'}=-L_{0'}^{i}=-\beta^{i}L_{0}^{0'}=L_{0'}^{0}\beta_{i}$

Pour les expressions (4), nous partons de $L_{\rho'}^{\mu}L_{\mu}^{\sigma'}=\delta_{\rho'}^{\sigma'}$ , avec et

$L_{0'}^{0}L_{0}^{i'}+L_{0'}^{k}L_{k}^{i'}=\delta_{0'}^{i'}=0$

$L_{0'}^{0}L_{0}^{i'}-L_{0'}^{0}\beta_{k}L_{k}^{i'}=0$

$L_{0}^{0'}\beta^{i'}=\beta_{k}L_{k}^{i'}=-L_{k}^{i'}\beta^{k}$

$L_{0}^{0'}\beta^{i'}=-L_{i'}^{k}\beta^{k}$

Pour les expressions (5) les relations de transformations du tenseur métrique donnent :

$\eta_{\mu'\nu'}=L_{\mu'}^{\rho}L_{\nu'}^{\sigma}\eta_{\rho\sigma}$ , en prenant

$1=L_{0'}^{0}L_{0'}^{0}\eta_{00}+L_{0'}^{i}L_{0'}^{j}\eta_{ij}=(L_{0'}^{0})^2(1+\eta_{ij}\beta^{i}\beta^{j})$

$L_{0'}^{0}=\pm\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$

Pour les expressions (6) : $L=\left(\begin{matrix} L_{0'}^{0}&L_{k'}^{0}\\L_{0'}^{i}&L_{k'}^{i} \end{matrix}\right)$ avec $L_{0'}^{i}=L_{0'}^{0}\beta^{i}$ et $L_{k'}^{0}=L_{k'}^{i}\beta_{i}$ en remarquant : $\eta_{\mu'\nu'}=L_{\mu'}^{\lambda}L_{\nu'}^{\rho}\eta_{\lambda\rho}$ pour et on obtient :

$\eta_{j'k'}=L_{j'}^{0}L_{k'}^{0}\eta_{00}+L_{j'}^{m}L_{k'}^{i}\eta_{mi}$

or : $L_{j'}^{0}=L_{0'}^{0}\beta_{j'}=-L_{0}^{0'}\beta^{j'}=L_{m}^{j'}\beta^{m}=-L_{j'}^{m}\beta_{m}$

d'où :

$-\eta_{j'k'}=L_{j'}^{m}L_{k'}^{i}\delta_{mi}-L_{j'}^{m}L_{k'}^{i}\beta_{m}\beta_{i} = L_{j'}^{m}L_{k'}^{i}(\delta_{mi}-\beta_{m}\beta_{i})$

On prend le déterminant :

$1=(1-\beta^2){\cdot}(detL_{k'}^{i})^2$

$detL_{k'}^{i}=L_{0'}^{0}$

Pour les expressions (7) : Nous considérons le groupe propre orthochrone de Lorentz, donc $L_{0'}^{0}>0$ de plus (matrices orthogonales), on a donc : $L_{0'}^{0}=L_{0}^{0'}$ , on a donc

Catégories: Mathématiques

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