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Application linéaire

En mathématique, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l'addition des vecteurs et la multiplication scalaire définie dans ces espaces vectoriels, ou, en d'autre termes, qui « préserve les combinaisons linéaires ».

Définitions

Soit : E → F une application où E et F sont deux $\mathbb K$ espaces vectoriels.

est une application linéaire (ou morphisme de $\mathbb K$ espaces vectoriels) si et seulement si :
- $\forall x \in E , \forall y \in E , f(x+y) = f(x) + f(y)$
- $\forall \lambda \in \mathbb K, \forall x \in E, f(\lambda.x) = \lambda.f(x)$

Une application possédant la première propriété est dite additive, et, pour la seconde, homogène.

est un isomorphisme si et seulement si :
- est un morphisme
- est bijective
est un endomorphisme si et seulement si :
- est un morphisme
- F = E
est un automorphisme si et seulement si :
- est un endomorphisme
- est bijective
Si F= $\mathbb K$ , on parle de forme linéaire.

On note $L_{\mathbb K}(E,F)$ l'ensemble des applications linéaires de E dans F.
On note $Isom_{\mathbb K}(E,F)$ l'ensemble des isomorphismes.
On note $L_{\mathbb K}(E)$ l'ensemble des endomorphismes.
On note $GL_{\mathbb K}(E)$ (appelé aussi le groupe linéaire]], c'est un groupe abélien) l'ensemble des automorphismes.

Noyau et Image

Si f est une application linéaire de E dans F, on définit le noyau de f, noté ker, et l' image de f par

$\ker(f)=\{\,x\in E:f(x)=0\,\}$

$\operatorname{im}(f)=\{\,f(x):x\in E\,\}$

ker(f) est un sous-espace vectoriel de E et im(f) est un sous-espace de F. La formule suivante sur les dimensions est souvent utile :

$\dim(\ker( f )) + \dim(\operatorname{im}( f )) = \dim( E ) \,$

Le nombre dim(im(f)) est aussi appelé rang de f et est noté rg(f). Si E et F sont de dimension finie et f est représenté par la matrice A, alors le rang de f est égal au rang de la matrice A.

Exemples

la fonction linéaire « habituelle » : $f : x \mapsto a\cdot x$ où a est un scalaire.
l'application dérivation :

d :

Catégories: Algèbre linéaire

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