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Transformée de Laplace

Sommaire

2.1 Linéarité
2.2 Dérivée
2.3 Intégrale
2.4 Composition
2.5 Valeur Finale
2.6 Convolution
2.7 Transformée de Laplace d'une fonction de période p

3 Quelques transformées usuelles

Définition

En mathématiques et en particulier en analyse fonctionnelle, la transformée de Laplace d'une fonction f(t) définie pour tout nombre réel t ≥ 0 est la fonction F(s), définie par:

$F(s) = \mathcal{L}\{f\}(s) =\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

Les propriétés de cette transformée la rendent utile pour l'analyse des systèmes dynamiques linéaires. L'avantage le plus intéressant de cette transformée est que l'intégration et la dérivation deviennent des multiplications et des divisions, de la même manière que le logarithme transforme la multiplication en addition. Elle permet de ramener la résolution des équations différentielles à la résolution d'équations polynomiales, qui sont beaucoup plus simples à résoudre. (voir Application de la transformée de Laplace aux équations différentielles)

Propriétés

Linéarité

$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

Dérivée

$\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)$

$\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)$

$\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma$

Intégrale

$\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau) d\tau \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}$

Composition

$\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s - a)$ Amortissement

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{at} f(t)$

$\mathcal{L}\left\{ f(t-a) \right\} = e^{-as}F(s)$ Retard

$\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)$

Note: est la fonction d'étape de Heaviside.

Valeur Finale

$lim_{t \to \infty} f(t)=lim_{s \to 0} sF(s)$

Convolution

$\mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}$

Transformée de Laplace d'une fonction de période p

$\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt$

Quelques transformées usuelles

$\mathcal{L}\{\delta(t)\}=1\mbox{ (Dirac)}$

$\mathcal{L}\{u(t)\}= {1 \over s}$

$\mathcal{L}\{t\}= {1 \over s^2}$

$\mathcal{L}\{t^n\}= {n! \over s^{n+1}}$

$\mathcal{L}\{e^{-at}\}= {1 \over s + a}$

$\mathcal{L}\{e^{-at} t^n\}= {n! \over (s + a)^{n+1}}$

$\mathcal{L}\{\sin\omega t\}= {\omega \over s^2+\omega^2}$

$\mathcal{L}\{\cos\omega t\}= {s \over s^2+\omega^2}$

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