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Treillis (ensemble ordonné)

Sommaire

1 Définitions

2 Exemples

3 Dualité

3.1 Théorème de dualité

4 Distributivité

Définitions

Un treillis est un ensemble ordonné dans lequel chaque couple d'élément admet une borne supérieure et une borne inférieure.

Si une seule des deux propriétés est vérifiée, on parle alors de demi-treillis.

Un treillis E est complet si pour tout sous ensemble F de E, F possède une borne supérieure et une borne inférieure.

Exemples

L'ensemble des parties d'un ensemble muni de l'inclusion forme un treillis où la borne supérieure est l'union et la borne inférieure l'intersection.
L'ensemble des entiers naturels muni de son ordre usuel est un exemple de treillis incomplet : il n'admet pas lui-même de borne supérieure.

Dualité

Si (E, $\vee$ , $\wedge$ , ≤) est un treillis, alors son treillis dual est (E, $\wedge$ , $\vee$ , ≥).

Théorème de dualité

Si un théorème T est vrai pour tous les treillis alors le théorème dual de T, obtenu en remplaçant toutes les occurrences de $\vee$ par $\wedge$ (et réciproquement) et toutes les occurrences de ≤ par ≥ (et réciproquement) est un théorème vrai pour tous les treillis.

Distributivité

Un treillis est distributif si la loi $\vee$ est distributive sur la loi $\wedge$ ou si la loi $\wedge$ est distributive sur la loi $\vee$ . En fait, les deux distributivité sont équivalentes, si un treillis en possède un type, il possède l'autre.

Catégories: Théorie des ordres

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