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Triangle de Sierpinski

Le triangle de Sierpiński, aussi appelé par Mandelbrot le joint de culasse de Sierpiński, est une fractale, du nom de Wacław Sierpiński.

Un algorithme pour obtenir des approximations arbitrairement proches du triangle de Sierpiński peut s'écrire de la manière suivante:

1. On commence à partir d'un triangle quelconque du plan. Le triangle canonique de Sierpiński se construit à partir d'un triangle équilatéral ayant une base parallèle à l'axe des abscisses.
2. on réduit le triangle d'un facteur 1/2, pour en faire trois copies, et on les translate de façon à ce que chaque triangle touche les deux autres triangles en un sommet.
3. on répète la deuxième étape avec chacun des petits triangles obtenus.

La véritable fractale correspond à ce que l'on obtiendrait après un nombre infini d'itérations. Plus formellement, on le décrit avec des fonctions appliquées à un ensemble de points. Si nous considérons h_a l'homothétie de rapport 1/2 de centre a, alors le triangle de Sierpiński de sommets a, b et c est l'ensemble laissé fixe par la transformation h_a U h_b U h_c. On dit que le triangle est un attracteur de trois homothéties de rapport 1/2 centrées aux sommets. Ainsi lorsque les opérations son appliquées répétitivement à n'importe quel autre ensemble, les images « convergent » vers le triangle de Sierpiński. C'est ce qui se produit avec le triangle ci-dessus, mais n'importe quel autre ensemble suffirait.

Si on considère un point et que l'on applique chacune des transformations h_a, h_b et h_c aléatoirement, les points obtenus forment un ensemble dense dans le triangle de Sierpinski, ainsi l'algorithme suivant génèrera des approximations arbitrairement proches de celui-ci :

On commence par noter p₁, p₂ et p₃ les sommets du triangle de Sierpiński, et on considère un point pris au hasard v₁. On pose v_{n + 1}= ½ (v_n + p_rn ), où r_n est un nombre aléatoire égal à 1, 2 ou 3. On place les points v₁ jusqu'à v_∞. Si le point initial v₁ est un point du triangle de Sierpiński, alors tous les points v_n appartiennent au triangle de Sierpinski. Si le premier point v₁ se trouve dans le périmètre du triangle et n'est pas un point du triangle de Sierpiński, alors aucun des points v_n n'appartient au triangle de Sierpiński, cependant la suite des points v_n converge vers un point du triangle.

Le triangle de Sierpiński a une dimension fractale ou une dimension de Hausdorff égale à log(3)/log(2) ≈ 1,585, ce qui vient du fait qu'il est la réunion de trois copies de lui-même, chacune étant réduite d'un facteur 1/2.

Si on le construit à partir d'un triangle de Pascal avec 2ⁿ lignes et que l'on colore les nombres pairs en blanc et les nombres impairs en noir, alors le résultat est une approximation au triangle de Sierpiński.

triangle de Sierpiński avec sept itérations

Voir aussi :

• Le tapis de Sierpiński, une construction similaire de rectangles
• Le triangle de Sierpiński/programme, un programme en langage C pour créer une telle fractale.

Liens externes (en anglais)

• http://www.stilldreamer.com/articles/sierpinskis_triangle/
• Xscreensaver [1] contient des modules pour afficher des versions animées du triangle de Sierpiński en deux et en trois dimensions.