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Triangle

Pour les articles homonymes, voir Triangle (homonymie).

Le triangle est une figure fermée à trois côtés rectilignes. Cette figure est particulièrement intéressante, car toute forme aux contours brisés (c'est-à-dire dont le contour est constitué de traits droits) peut être découpée en triangles ; si l'on connaît les propriétés des triangles, on peut en déduire les propriétés de cette figure quelconque. Si la figure a un contour courbe, on peut l'approcher par une ligne brisée et se reporter au cas précédent.

Le triangle est également le symbole de la stabilité, utilisé par exemple dans le symbole de la Sécurité civile. C'est le profil spontané que prend un tas de sable ou de gravier. Il est de ce fait à la base des constructions traditionnelles (hutte, tipi, wigwam) et a été largement adopté par les architectes : c'est le profil des pyramides égyptiennes, mais aussi celui des toitures, des flèches de cathédrale...

Outre cette stabilité verticale, on peut aussi remarquer qu'un tabouret à trois pieds n'est jamais bancal, le triangle représente aussi la stabilité horizontale. En fait, trois point sont toujours sur un même plan (on peut mettre une plaque parfaitement plane en contact avec les trois pieds), alors que si l'on ajoute un quatrième point, il peut être au-dessus ou en dessous de ce plan. Ainsi, une des positions de travail stable est la position du trépied (un genou au sol, l'autre relevé) ; c'est la figure formée par les roues et la béquille d'un vélo ; en premiers secours, la stabilité de la position latérale de sécurité (PLS) est assurée par deux triangles, l'un formé par l'avant-bras posé au sol et la main sous la tête, l'autre formé par la partie du bassin posée au sol, le genou de la jambe pliée et le pied de la jambe allongée. C'est aussi cette propriété de planéité qui fait qu'en informatique, une surface est décomposée en triangles (par exemple en synthèse d'image ou pour les calculs par éléments finis).

Le triangle est aussi le profil de la pointe de flèche, le symbole de la direction, de la détermination, de la pénétration. C'est le profil de l'aile d'un deltaplane ou du Concorde.

Dans certaines sociétés traditionnelles, c'est le symbole de la femme, car c'est la forme de la pilosité pubienne ; par exemple, le foyer (feu) entretenu par la femme est constitué de trois pierres.

Mathématiques

En géométrie, le triangle est un polygone à trois côtés. C'est une figure géométrique définie par trois points non alignés.

Triangles particuliers

Triangles type

Suivant les longueurs de ses côtés, il peut être :

• équilatéral si tous ses côtés ont la même longueur (équivalent : si tous ses angles sont égaux) ;
• isocèle s'il a deux côtés de même longueur (équivalent : si deux de ses angles sont égaux) ;
• scalène si tous ses côtés sont de longueurs différentes.

Suivant les mesures de ses angles, il peut être :

• rectangle si l'un de ses angles est droit (il vaut 90° ou π/2 radians) ; le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse ;
• obtus ou obtusangle si un angle est plus grand que l'angle droit ;
• aigu ou acutangle si tous ses angles sont plus petits que l'angle droit.

Un triangle peut être isocèle et rectangle ; alors, les deux angles non-droit valent 45 ° (π/4 rad).

Définitions

Objets géométriques liés aux triangles

On nomme un triangle en citant le nom de ses sommets, par exemple ABC. En général, pour nommer les longueurs des côtés, on utilise la nom de l'angle opposé, en minuscules : a = BC, b = AC, c = AB.

On appelle cercle circonscrit le cercle passant par les trois sommets ; on dit alors que « le triangle est inscrit dans le cercle ». On appelle cercle tangent le cercle tangent aux trois côtés.

On appelle hauteur en un point le projeté orthogonal de ce point sur le côté opposé ; ce point est souvent noté H, la longueur du segment reliant le point à sa hauteur est souvent notée h.

On appelle médiane en un point la droite reliant ce point au milieu du côté opposé.

Rappelons enfin la définition de deux objets non spécifiques aux triangles, mais fréquemment utilisés. La médiatrice d'un côté est la droite perpendiculaire à ce côté et passant par son milieu ; la médiatrice est le lieu des points situés à égale distance des extrémités du côté. La bissectrice d'un angle est la droite divisant le secteur angulaire en deux secteurs angulaires de même angle ; les points de la bissectrice sont à égale distance des côtés adjacents au sommet concerné.

La somme des mesures des angles
d'un triangle vaut 180°

Propriétés en géométrie euclidienne

Voici quelques propriétés des triangles en géométrie euclidienne (ou géométrie plane).

• La somme des mesures des angles est égale à 180 ° (ou π rad).

Ceci se voit aisément en traçant les parallèles aux côtés en un point (ce qui est la démonstration d'Euclide dans ses Éléments, proposition I-32). On déduit ainsi que les angles d'un triangle équilatéral valent 60 ° (ou π/3 rad).

Le triangle rectangle est un demi-rectangle

• Si ABC est un triangle rectangle en A, et que b et c sont les longueurs des côtés adjacents à A, alors l'aire du triangle est b.c/2.

ABC est la moitié d'un rectangle.

• Si ABC est un triangle (quelconque), soit h la hauteur du triangle en B (la longueur du segment [BH], H étant le projeté orthogonal de B sur (AC)) et b est la longueur du segment [AC], alors l'aire du triangle vaut .

Si H est à l'intérieur de [AC], il divise le triangle en deux triangles rectangles ABH et HBC, il suffit d'additionner les aires. Si cette projection est à l'extérieur, on a deux triangles rectangles ABH et CBH, il suffit de soustraire leurs aires.

Voir aussi l'article Aire de surfaces usuelles.

Voir la figure de la section Définitions.

• Les médiatrices des trois côtés sont concurrentes, et le point de concurrence est le centre du cercle circonscrit.

On sait que par trois points non-alignés, il passe un cercle et un seul. Il suffit ensuite de considérer les côtés deux à deux.

Ceci est une des propriétés du cercle.

Les centre de tous les cercles tangents à deux droites sécantes
sont sur une des deux bissectrices

• Les bissectrices des trois angles sont concurrentes, et le point de concurrence est le centre du cercle tangent.

Si les points d'une bissectrice sont à égale distance des deux côtés adjacents. Donc si l'on prend un point de la bissectrice et que l'on trace un cercle centré sur ce point et dont le rayon est la distance aux droite, ce cercle est tangent aux droites (le rayon est perpendiculaire à la tangente, c'est une des propriétés du cercle). On applique cette propriété aux angles deux à deux.

• Théorème de Pythagore : si l'on considère un triangle rectangle ABC rectangle en A, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés adjacents, soit avec la notation habituelle :

a² = b² + c²

Cliquer sur le lien pour avoir l'illustration et la démonstration

Médiane de l'angle droit d'un triangle rectangle

• Dans un triangle ABC rectangle en A, si M est le milieu de l'hypoténuse [BC], la longueur de la médiane AM de l'angle droit vaut la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Cela peut se démonter avec les vecteurs, en remarquant que

et ,

soit

,

et donc d'après le théorème de Pythagore

AM ² = 1/4(AB ² + AC ²)

or

BC ² = AB ² + AC ²

soit

AM = 1/2 BC

Ceci permet de montrer que A, B et C se trouvent sur un cercle de centre en M (voir aussi les propriétés du cercle).

Polyèdres à faces triangulaires

• En géométrie dans l'espace, trois points non alignés suffisent à définir un plan. Un triangle est donc nécessairement plan. Le triangle est la forme des faces de nombreux polyèdres réguliers : tétraèdre (quatre faces, c'est la pyramide à base triangulaire), octaèdre (huit côtés, les pyramides égyptiennes sont des demi-octaèdres), icosaèdre (vingt faces)...

Métrique du triangle

p désigne le demi périmètre du triangle : p=(a+b+c)/2
S désigne la surface du triangle
R désigne le rayon du cercle circonscrit

• (Théorème d'Al-Kashi, ou théorème de Pythagore généralisé)
• (Formule de Héron)
• (formule « des sinus »)

Voir

• Résolution d'un triangle