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Trisection de l'angle

La trisection de l'angle est un problème classique de mathématiques. C'est un problème géométrique, faisant partie des trois grands problèmes de l'antiquité, avec la quadrature du cercle et la duplication du cube. Ce problème consiste à diviser un angle en trois parties égales, à l'aide d'une règle et d'un compas.

S'il est facile de partager un angle en deux en construisant sa bissectrice, s'il est aisé de partager l'angle droit en trois à l'aide de triangles équilatéraux, beaucoup de mathématiciens ont longtemps cherché, en vain, une méthode géométrique pour réaliser la trisection d'un angle quelconque. Dès le IIIe siècle av. J.-C., Archimède proposa une méthode par ajustement. Au IIe siècle av. J.-C., Nicomède conçut la conchoïde de droite pour s'approcher de la solution. Mais en 1837, Pierre-Laurent Wantzel démontra un théorème qui permit d'exhiber la forme des équations des problèmes impossibles à résoudre à la règle et au compas. L'équation de la trisection de l'angle étant de cette forme, la construction est donc impossible à réaliser selon ces règles.

La trisection de l'angle est en revanche réalisable en pliant une feuille de papier, comme le montre la figure ci-contre.
Explication :

• L'angle à couper en trois a pour côtés le bord inférieur de la feuille et le trait plein oblique.
• Deux bandes horizontales de même largeur sont tracées en bas de la feuille.

Le pliage par ajustement, impossible à réaliser à la règle et au compas, fonctionne comme suit

• Lors du pliage, deux points du bord gauche de la feuille doivent rejoindre, comme l'indiquent les flèches, une droite connue.
• La trisectrice, en trait pointillé, passe par l'endroit où le coin a rejoint la parallèle inférieure.

La preuve est élémentaire et nécessite des théorèmes sur les quadrilatères, les angles alternes-internes ou correspondants et la symétrie axiale.

Il existe une méthode équivalente à ce pliage utilisant une équerre.

• Voir la méthode de l'équerre (lien externe).