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Continuité uniforme


La notion de continuité uniforme est un "raffinement" de la notion de continuité. Contrairement à la continuité simple, la continuité uniforme n'est pas une notion "purement topologique" c'est-à-dire ne faisant intervenir que des ouverts, mais une notion métrique, c'est-à-dire qu'elle fait intervenir des distances.

Sommaire
1 Continuité uniforme dans un espace métrique

1.1 Définition
1.2 Relation avec la continuité
1.3 Exemples

2 Résultats importants

2.1 Fonctions continues
2.2 Fonctions lipschitziennes
2.3 Théorème de Heine

Continuité uniforme dans un espace métrique

Définition

Soient (E,d) \,\! et (F,\delta) \,\! deux espaces métriques, et f \ : \ E \rightarrow F \,\! une fonction de E \,\! vers F \,\!.

On dira que f \,\! est uniformément continue si et seulement si :

\forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta \ / \ \forall(x,y)\in E\times E, \ d(x,y) \leq \eta \ \Rightarrow \ \delta(f(x),f(y)) \leq \varepsilon \,\! .

NB: La continuité "simple" de f \,\! s'écrit par comparaison :
\forall x \in E, \ \forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta \ / \ \forall y \in E, \ d(x,y) \leq \eta \ \Rightarrow \ \delta(f(x),f(y)) \leq \varepsilon \,\! .
On comprend alors le sens du mot "uniforme" : le choix de \eta \,\! en fonction de \varepsilon \,\! ne dépend pas du point considéré, il est uniforme sur E \,\!.

Dans le cas ou l'espace de départ E \,\! est \R \,\!, la définition s'écrit :

\forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta \ / \ \forall(x,y)\in E\times E, \ |x-y| \leq \eta \ \Rightarrow \ \delta(f(x),f(y)) \leq \varepsilon \,\! .

Relation avec la continuité

Exemples

Définissons les fonctions :

f_1 : \R_+ \rightarrow \R, \ x \mapsto \sqrt{x} \,\!

f_2 : \R_+ \rightarrow \R, \ x \mapsto x^2 \,\!

Soit \varepsilon > 0 \,\!. Comme la fonction f_1 \,\! est concave on a pour tous x,y \in \R_+ \,\! :

|\sqrt{x}-\sqrt{y}| \leq \sqrt{|x-y|} \,\!.

Posons alors \eta = \varepsilon^2 \,\! ; si x,y \in \R_+ \,\! vérifient |x-y|\leq\eta \,\! alors :

|f_1(x)-f_1(y)| = |\sqrt{x}-\sqrt{y}| \leq \sqrt{|x-y|} \leq \sqrt{\eta} = \varepsilon \,\!, ce qu'il fallait démontrer.

\exists \varepsilon > 0,\ \forall \eta > 0,\ \exists (x,y) \in \R_+ \times \R_+ \ , |x-y| \leq \eta \ et \ |f_1(x)-f_1(y)|>\varepsilon \,\! .

En fait \varepsilon = 1 \,\! convient. Pour n'importe quel \eta > 0 \,\! on choisit x=\frac{1}{\eta}+\eta \,\! et y=\frac{1}{\eta} \,\!. Alors |x-y| \leq \eta \,\! et |f_2(x)-f_2(y)|=|(\frac{1}{\eta^2}+2\eta \frac{1}{\eta}+\eta^2)-\frac{1}{\eta^2}|=|2+\eta^2|>\varepsilon \,\!, ce qu'il fallait démontrer.

Résultats importants

Fonctions continues

Soit un segment de \mathbb{R}. Toute application uniformément continue sur est continue sur .

Fonctions lipschitziennes

Soit un segment de \mathbb{R}. Toute application lipschitzienne sur est uniformément continue sur .

Théorème de Heine

Soit un segment de \mathbb{R}. Toute application continue sur est uniformément continue sur .


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