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À l'origine, un vecteur est un objet de la géométrie euclidienne. Le vecteur est, en physique, ce qui permet de modéliser des grandeurs qui ne peuvent être complétement définis par un seul nombre. Par exemple, pour décrire une vitesse,une force, un champ électrique, il faut aussi connaître la direction et le sens. Les vecteurs s'opposent aux grandeurs scalaires qui elles peuvent être décrites par un seul nombre comme la masse, la température, la densité, etc.
| Sommaire |
On distingue trois types de vecteurs : les vecteurs libres, vecteurs glissants et vecteurs localisés.
On peut considérer un vecteur libre comme une flèche dont l'emplacement dans le plan n'a pas d'importance, seule compte sa longueur (ou norme, intensité, module), sa direction et son sens. Pour être plus précis, on définit des bipoints comme étant des couples de points (l'ordre ayant une importance) ; deux bipoints représentent le même vecteur s'ils définissent des segment parallèles entre eux, de même longueur et de même orientation. Pour être plus rigoureux, le vecteur est une « classe d'équivalence de bipoints équipollents ».
On peut définir des opérations sur ces vecteurs, qui, bien que portant des noms utilisés pour les nombres, sont en fait des constructions géométriques : la multiplication d'un vecteur par un scalaire, la somme de deux vecteur, le produit scalaire ou vectoriel de deux vecteurs... Par ailleurs, on peut, comme à tous les objets géométriques, leur appliquer les transformations classiques : rotation, projection, homothétie...
Les vecteurs sont souvent notés par une lettre avec une flèche au-dessus, par exemple 
; dans certains ouvrages, on note les vecteurs en caractère
gras, par exemple u. Si le bipoint (A,B) est un des représentant du vecteur, alors on peut
noter le vecteur 
. La longueur du vecteur
s'appelle la norme, et ce en mettant le vecteur entre deux traits verticaux de chaque côté, 
(on utilise aussi parfois simplement la ou les lettres
désignant le vecteur sans la flèche, par exemple u ou AB).
Si deux bipoints (A,B) et (C,D) représentent le même vecteur (c'est-à-dire sont équipollents), on peut alors écrire :
Le vecteur nul est le vecteur dont les représentants sont de type (A,A) (les deux points du
bipoint sont confondus) ; il est noté 
. Il
est de longueur nulle, 
L'angle que forment deux vecteurs et 
est noté 
; il est mesuré en amenant l'origine des
deux vecteurs en un point et en mesurant l'angle que font les segments. Si (A,B) est un représentant de
et (A,C) un représentant de
, alors
On définit en général une base dans le plan ou dans l'espace, qui permet de définir le vecteur par ses composantes (l'équivalent des coordonnées pour les points dans un plan ou un espace muni d'un repère). On utilise en général deux notations différentes :
Les composantes représentent la longueur des projections du vecteur sur les trois axes de la base.
L'utilisation des vecteurs en géométrie euclidienne forme la géométrie vectorielle. On définit en particulier des constructions géométriques particulières, c'est-à-dire la construction d'un vecteur à partir de deux vecteurs, ou bien d'un vecteur et d'un scalaire ; ces construction ayant des propriétés similaires aux opérations sur les nombres (commutativité, distributivité, présence d'un élément neutre ou absorbant), elle sont de fait appelées et notées de la même manière. On parle ainsi de somme de vecteurs, du produit d'un vecteur par un nombre, de produit vectoriel...
Par extension, tous les objets ayant les mêmes propriétés algébriques que ces vecteurs géométriques sont appelés vecteurs ; c'est le cas par exemple des polynômes, des fonctions périodiques, des matrices, des nombres réels, complexes et hypercomplexes (quaternions, octonions)... Ceci a amené à la définition de la notion abstraite d'espace vectoriel.
La définition générale, en mathématiques, d'un vecteur est donc : « élément d'un espace vectoriel ».
Un vecteur est un tenseur ; si c'est un véritable vecteur, alors c'est un tenseur d'ordre 1.
La notion mathématique de vecteur est plus vaste : elle se réfère à un niveau d'abstraction plus élevé, et se dispense de nombreuses propriétés contraignantes, dont le physicien peut difficilement se dispenser. Pour le physicien, le vecteur est un descripteur de quelque chose, par exemple d'une translation. Le physicien est donc lié par une sémantique, dont le mathématicien ne se soucie pas.
Pour des raisons historiques qui datent du XIXe siècle (les quaternions de W.R. Hamilton, en 1843), l'habitude s'est prise chez les physiciens d'appeler aussi « vecteurs » des êtres de rotation, tenseurs antisymétriques d'ordre 2. Tels sont notamment les champs magnétiques H et B, le moment magnétique, le moment d'un couple de forces, la vitesse angulaire, la vitesse aréolaire, le moment angulaire (appelé généralement en français « moment cinétique »). Or ces grandeurs tensorielles du second ordre ont un comportement opposé à celui des vrais vecteurs dans toutes les symétries, et leur comportement dimensionnel dans les changements de base est lui aussi incompatible. Voir l'article de Pierre Curie (1894) à ce sujet, Sur la symétrie dans les phénomènes physiques, symétrie d'un champ électrique et d'un champ magnétique, résumée dans Journal de Physique, 3e série, t.III, 1894, p.393. Réimpression dans Œuvres de Pierre Curie, pp. 118-141, Éditions des Archives Contemporaines, Paris 1984.
La mécanique a mis longtemps à faire la part entre les propriétés des forces, et celles des solides indéformables auxquelles ces forces étaient tacitement appliquées. De là découlent de nombreuses définitions successives et incompatibles - certains vieux manuels changeaient de définition et d'acception toutes les trois pages - : « vecteurs glissants », « vecteurs liés », torseurs, etc. Ces trois dernières acceptions sont liées aux solides indéformables, et désignent des descripteurs mécaniques qui sont autre chose que des vecteurs : ils contiennent aussi une droite d'application ou un point d'application, ou une droite d'application plus un couple non coplanaire à la droite.
Le mot vecteur désigne aussi ce qui transporte, exemple: les moustiques sont des vecteurs du paludisme, certains missiles sont des vecteurs de têtes nucléaires, les véhicules de secours à personne des sapeurs-pompiers sont des vecteurs de défibrillateur semi-automatique.
Etymologie : de l'indo-européen *VAG, ou *VAGH, qui désignait le chariot, et qui a laissé quelques centaines de descendants dans les langues indo-européennes. En latin, vector désigne le conducteur d'un chariot. Le réemploi de ce mot en mathématiques date de 1837, et est dû à W.R. Hamilton.
